2第二章 1控制系统的数学模型

输出信号执行元件被控对象测量元件输入信号偏差信号校正元件放大元件并联校正串联校正数学模型什么是控制系统的？描述系统内部物理量（或各变量）之间关系的数学表达式。在经典控制理论中，一般指系统的输出量、输入量以及它们的各阶导数之间关系的数学表达式。也称为系统的动态特性方程。深入了解系统的动态特性，准确建立它们的数学模型——称建模。任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。建立控制系统数学模型的方法：机理分析法实验辨识法对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律或化学规律分别列写相应的运动方程。分析法建立系统数学模型的几个步骤：•建立物理模型。•列写原始方程。利用适当的物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等）•选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。建立控制系统数学模型的方法：实验法：人为给系统施加某种测试信号，测量并记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，这种方法也称为系统辨识。黑匣子输入（已知）输出（测量）数学模型的表示形式：数学模型时域模型复域模型频域模型微分方程差分方程状态空间模型传递函数方框图频率特性一、线性系统的微分方程例1：如图所示，电路由电阻R、电感L和电容C组成无源网络，试列写以ur(t)为输入量，以uc(t)为输出量的网络微分方程。RL)(ti)(tucC)(tur解：设回路电流为i(t)，由KVL列写回路方程为消去中间变量i(t)RL)(ti)(tucC)(tur)()()()(tutudttdiLtRircdttduCtic)()()()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc二阶线性微分方程例2：如图所示为一弹簧阻尼系统，图中质量为m的物体受到外力F的作用，产生位移y，求该系统的输入-输出描述。mFyFyFsFfmFyFsFfmkyFsdtdyfvfFf据牛顿第二定律：fsFFFFmaFkydtdyfdtydm22列写系统微分方程的步骤：1、分析系统：确定哪些是输入，哪些是输出。2、根据运动机理，列写每一个元件的运动方程。3、消去中间变量，求出只含有输入，输出量及各阶导数之间关系的微分方程，并化成标准形式。即输出在左输入在右按降幂排列。描述线性定常系统微分方程：1110)()(nnnndttcdadttcda…)()(1tcadttdcann1110)()(mmmmdttrdbdttrdb…)()(1trbdttdrbmm)(tr为系统的输入量)(tc为系统的输出量ia为常量，ni、、、21为常量，jbmj、、、21分别为输入量、输出量导数的最高阶数nm、二、线性系统的性质线性系统的重要性质是可以应用叠加原理，即具有可叠加性和均匀性。)()()()(22tftcdttdcdttcd设有线性微分方程为：当f(t)=f1(t)时，上述方程的解为c1(t)当f(t)=f2(t)时，上述方程的解为c2(t)则当f(t)=f1(t)+f2(t)时，方程的解必为c(t)=c1(t)+c2(t)当f(t)=Af1(t)时，A为常数，则方程的解为c(t)=Ac1(t)…………可叠加性…………均匀性两个外作用同时加于系统所产生的总输出，等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和，且外作用的数值增大若干倍时，其输出亦相应增大同样的倍数。结论：三、线性定常微分方程的求解求解方法：经典法、拉氏变换法、借助计算机求解例3：一RC阻容网络，0Uur)0()(0ctcutu试求电路突然接通电源时，电容电压uc(t)的变化规律。urRcuciurRcuc)(10tUurcruiRudtduCicrccuudtduRC解：irccuudtduRC取拉氏变换：SUsUsUUssURCrccc0)()()0()()0(1)1()(0CCuRCSRCRCSSUsU)0(11)(00CCuRCSRCURCSRCSUsU若初始UC(0)=0，则：)()()(sUsUsRCsUrcc即：)()(1)(1sUsUTssURCsrcc）（）（tRCctRCceueUUtU1100)0()(进行拉氏逆变换:零输入响应(U0=0)零状态响应（Uc(0)=0）暂态响应稳态响应网络的响应=零状态响应+零输入响应结论：网络的响应=稳态响应+暂态响应拉氏变换法求解线性定常微分方程的步骤：1、考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量的s代数方程.(ts)2、由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式.3、对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解.(st)一、按系统的控制方式分类开环控制闭环控制复合控制按给定值操纵的开环控制按干扰补偿操纵的开环控制(1)按给定值操纵的开环控制控制装置执行调节机构被控对象r(t)u(t)μ(t)c(t)d(t)根据给定值的大小去直接控制被控对象。适用范围：控制精度要求不高或系统各环节特性相当稳定、干扰因素很少的场合。控制装置执行调节机构被控对象r(t)u(t)μ(t)c(t)d(t)(2)按干扰补偿操纵的开环控制补偿装置用来克服主干扰，其设计与被控对象的具体特性有关，是一种专用的控制装置。闭环控制是一种最基本又最重要的典型控制方案。复合控制按干扰补偿的复合控制按输入给定补偿的复合控制(1)按干扰补偿的复合控制控制装置执行调节机构被控对象r(t)μ(t)c(t)d(t)检测装置干扰补偿器××u(t)uf(t)(2)按输入给定补偿的复合控制控制装置执行调节机构被控对象r(t)μ(t)c(t)d(t)检测装置给定值补偿器××u(t)uf(t)二、按系统输入量的运动规律分类定值控制程序控制随动控制克服各种干扰因素的影响，确保被控量等于恒定的给定值。系统的给定值是一个变化规律预知的时间函数。系统的给定值是一个不可预知的随机变量，要求系统的输出以一定的精度跟随输入量而变化三、按系统的特性分类线性控制系统系统中各组成元件的状态或特性可以用线性微分方程来描述。满足叠加定理，具有叠加性和齐次性，系统时间响应的特征与初始状态无关。若系统的微分方程的系数是常数，称为线性定常系统；反之，称为线性时变系统。非线性控制系统四、按系统信号的形式分类连续控制系统系统各部分的输入和输出信号都是时间变量的连续函数。其运动状态或特性一般用微分方程来描述。离散控制系统系统的某一处或几处信号是以脉冲序列或数码的形式传递的系统。离散控制系统使用采样开关（采样器）将连续信号转换为脉冲形式的系统，也称为脉冲控制系统。使用数模转换器将连续信号转换为数字信号，并用数字计算机或数字控制器进行控制和信号处理的系统，简称数字控制系统。采样数字控制系统采样控制系统五、按输入量的数量分类单输入单输出系统（SI-SO）多输入多输出系统（MI-MO）六、其他分类确定系统与不确定系统集中参数系统与分布参数系统对控制系统的基本要求稳定性是保证控制系统正常工作的先决条件。一个稳定的控制系统，其被控量偏离期望值的初始偏差应随时间的增长逐渐减小或趋于零。稳定性快速性准确性快速性对系统的过渡过程的形式和快慢的要求，一般称为系统的动态性能。准确性过渡过程结束后，被控量达到的稳态值与期望值之差，称为系统的稳态误差。（是衡量控制系统控制精度的重要指标）一、控制系统的类型二、对控制系统的要求三、线性定常控制系统时域数学模型建立方法、表示形式。四、线性系统的性质五、用拉氏变换法求解微分方程的方法，并分析了解系统解的组成。一、控制系统的类型二、对控制系统的要求三、线性定常控制系统时域数学模型建立方法、表示形式。四、线性系统的性质五、用拉氏变换法求解微分方程的方法，并分析了解系统解的组成。