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辅导讲义一、教学目标1.能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论。2.能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。3.能够证明角平分线的性质定理、判定定理。二、上课内容1、线段的垂直平分线；2、角平分线的定义、性质及定理。三、家庭作业：见“课后作业”四、家长签名（本人确认：孩子已经完成“课后作业”）_________________学生上课日期课程类别基础（√）提高（）培优（）授课教师谢老师年级八年级上课时间科组长签字科目数学第几学时教学主任签字一、知识梳理知识点1：线段的垂直平分线：一、学习准备1、段的垂直平分线：垂直且______一条线段的直线是这条线段的垂直平分线。2、线段垂直平分线上的____到这条线段两个端点的距离__________。3、阅读教材：第3节《线段的垂直平分线》考点精讲：例1、已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的任意一点。求证：PA=PB。证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=_______=90°∵在△PC和△PCB中，∴△PCA≌△PCB（）∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）考点一：线段垂直平分线上的____到这条线段两个端点的距离__________。推理格式:∵PC⊥AB，AC=____(点P在线段AB的垂直平分线MN上),∴=PB例2、上面这个定理的逆命题：到线段两个端点的距离相等的点，_____________,它是___命题。如果是真命题请证明。已知：如图，AB=AC求证：点A在线段BC的垂直平分线上证明：（提示：利用等腰三角形三线合一）考点二：到一条线段两个端点距离_________的点，在这条线段的____________线上。推理格式：∵AB=AC，∴____点在线段BC的。练一练：1、如图，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线。1）则BD=；2）若∠B=40°，则∠BAC=°，∠DAB=°，∠DAC=°，∠CDA=°；3）若AC=4，BC=5，则DA+DC=__，△ACD的周长为__。2、如图，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，AC=5，BC=8，求：△AEC的周长。CBA、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，求AB、BC。一、学习准备1、尺规作图是指用和作图。2、线段垂直平分线上的点到。3、到一条线段两个端点距离相等的点，在。考点精讲例3、已知：如图，在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线相交于点P，求证：AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P，且AP=BP=CP。证明：连接AP、BP、CP，∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=____（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等）∵点P在线段BC的垂直平分线上，∴考点三：三角形三条边的__________线相交于_____，并且这一点到三个______的距离相等。推理格式：∵点P是△ABC的三条边的垂直平分线的交点，∴PA=_____=_______.练一练4、做一做：已知底边上的高，求作等腰三角形。已知：线段a、h求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.作法：（1）作线段AB=a；解：作图如下：（2）作线段AB的垂直平分线l，交BC于点D，（3）在L上作线段DC，使DC=h（4）连接AC，BC。△ABC为所求的等腰三角形。、如图所示，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A、B提供牛奶，牛奶站建在什么地方，才能使它到A、B的距离相等？6、△ABC的三条边的垂直平分线相交于点P，若PA=10，则PB=_，PC=_。7、已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于O。求证：OA=OB=OC．：角平分线：一、学习准备1、点到直线的距离：由这点向直线引____，这点到垂足间线段的___叫做这点到直线的距离。2、角平分线性质定理：角平分线上的____到这个角的两边的距离________。二、考点精讲例1、已知：如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OB，PE⊥OA,垂足分别为D，E，求证：PD=PE证明:∵PD⊥OB，PE⊥OA,垂足分别为D，E，∴∠PDO=______=90°∵OC是∠AOB的角平分线，考点一：角平分线上的____到这个角的两边的距离________。(证明两条线段相等)推理格式：∵点P在∠AOB的角平分线上，PE⊥OA，PD⊥OB，∴PD=__例2、已知：如图，点P为∠AOB内一点，PE⊥OA，PD⊥OB，且PD=PE，求证：OP平分∠AOB。考点二：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的___，在这个角的平分线上（证明角相等）推理格式：∵PE⊥OA，PD⊥OB，且PD=PE，∴点P平分。练一练1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm2、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，∠1=∠2,求证：OB=OC。3、如图，E是线段AC上的一点，AB⊥EB于B，AD⊥ED于D，且∠1=∠2，CB=CD。求证：∠3=∠4。21OEDABCOEDABPOEDABP231EDABC4、如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。（1）已知CD=4cm，求AC的长；（2）求证：AB=AC+CD。5、如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD。求证：AD平分∠BAC。6、如图，在△ABC中，BE⊥AC，AD⊥BC，AD、BE相交于点P，AE=BD。求证：P在∠ACB的角平分线上。一、学习准备1、角平分线上的点到。2、在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在。二、考点精讲例3、已知：点P是△ABC的两条角平分线BM、CN的交点，求证：∠A的平分线经过点P，且PD=PE=PF。证明：过点P作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，PD⊥AB于D，∵CN是△ABC的角分线，点P为CN上一点，∴PE=_____()∵BM是△ABC的角分线，点P为BM上一点，∴PE=_____()考点三：三角形三条角平分线相交于一___，并且这一点到三角形三条____的距离______。推理格式：∵点P是△ABC的三条角平分线的交点，且PE⊥BC，PF⊥AC，PD⊥AB，∴PD=_____=_______.练一练：1、如图4，点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD______PE______PF.2、如图5，P是∠AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系是__________.EDABCPCBADE、用尺规作图法作出图1中各个角的平分线。4、如图2，求作一点P，使PC=PD，并且点P到∠AOB两边的距离相等。（用尺规作图）5、已知：如图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，BD∶CD=9∶7，求：D到AB边的距离.6、一张直角三角形的纸片，如图1-36那样折叠，使两个锐角顶点A、B重合，若DE=DC,则∠A=°.7、已知:如图,△ABC的外角∠CBDT和∠BCE的角平分线相交于点F.求证:点F在∠DAE的平分线上.BAOBAOOAB图1CBADO图1-36EDCBA小结反思：熟记线段的垂直平分线与角平分线的定义，并能熟练应用他们的性质练习题：1．如图1—101所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别在D′,C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）A．70°B．65°C．50°D．25°2．如图1—102所示．在ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E．若AB=6cm，则DEB的周长为（）A．12cmB．8cmC．6cmD．4cm3．如图1—103所示，D，E分别是△ABc的边AC．Bc上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°4．如图1—104所示，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，下列结论不一定成立的是（）A．PA=PBB．PO平分∠APBC．OA=OBD．AB垂直平分OP5．如图1—105所示，D，E，F分别是,ABC的三边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证AD平分∠BAC．．已知MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，则∠CAD和∠CBD之间的大小关系是（）A.∠CAD∠CBDB.∠CAD＝∠CBDC.∠CAD∠CBDD.无法判断2．如图所示，在△ABC中，AD垂直平分扫BC，AC＝EC，点B，D，C，E在同一条直线上，则AB＋DB与DE之间的数量关系是（）A.AB＋DBDEB.AB＋DBDEC.AB＋DB＝DED.无法判断3．已知在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交线段AC于D，若△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，则△ABC的腰长和底边BC的长分别是（）A．24cm和12cmB.16cm和22cmC．20cm和16cmD．22cm和16cm4．如图所示，A，B是直线l外两点，在l上求作一点P，使PA＋PB最小，其作法是（）A.连接BA并延长与l的交点为PB.连接AB，并作线段AB的垂直平分线与l的交点为PC.过点B作l的垂线，垂线与l的交点为PD.过点A作l的垂线段AO，O是垂足，延长AO到A′，使A′O＝AO，再连接A′B，则A′B与L的交点为P5．若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定二、填空题6．到线段AB两个端点距离相等的点，在.7．直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC的垂直平分线交AB于D，若AD＝2cm，则BD第二题第四题＝cm．[来源:学*科*网Z*X*X*K]三、解答题8．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝110°，PM，QN分别垂直平分AB，AC，求∠PAQ的度数．9．如图1－78所示，在△ABC中，∠A＝90°，AC＝8cm，AB＝6cm，BC边的垂直平分线DE交BC于E，交AC于D，求△ABD的周长．10．如图l－79所示，已知AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，DE交AC于点D，若△DBC的周长为35cm，求BC的长．错误!错误!(第2题）EDCBA课后作业：线段的垂直平分线一、基础知识：1、线段垂直平分线的性质因为，所以AB＝AC.理由：2、线段垂直平分线的判定因为，所以点A在线段BC的中垂线上.理由：1、如图，△ABC中，AD垂直平分边BC，AB＝5，那么AC＝_________.（第1题）（第3题）（第4题）2、如图，在△ABC中，AB的中垂线交BC于点E，若BE=2则A、E两点的距离是（）.A.4B.2C.3D.123、如图，AB垂直平分CD，若AC=1.6cm，BC=2.3cm，则四边形ABCD的周长是（）cm.A.3.9B.7.8C.4D.4.64、如图，NM是线段AB的中垂线,下列说法正确的有：.①AB⊥MN,②AD=DB，③MN⊥AB，④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线.5、下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；