高中数学椭圆双曲线抛物线考点精讲

1专题椭圆双曲线抛物线．一、椭圆二、双曲线1．从双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于b.2．共渐进线双曲线系：与22221xyab共渐进线的双曲线方程是22xa－22yb=λ（λ≠0）双曲线的渐近线为0byax时，它的双曲线方程可设为)0(2222byax.3．双曲线方程中化1为0，因式分解可得渐进线方程定义到两个定点的距离之和等于定值的点的轨迹1212||||2(2||)PFPFaaFF顶点（±a,0）,（0,±b）（0,±a）,（±b,0）焦点(,0)Fc(0,)Fc长轴2a2a短轴2b2b焦距2c22cab通经长离心率e=ca0e1.且e越接近1，对应椭圆越扁；e越接近于0，越接近于圆定义到两个定点距离之差的绝对值等于定值的点的轨迹1212||||||2(2||)PFPFaaFF标准方程22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab顶点（a,0）,（a,0）（0,a）,（0,a）焦点F1（c,0）,F2（c,0）,F1（0,c）,F2（0,c）.焦距2c22cab离心率e=cae1.对称性:对称轴为x=0,y=0;对称中心为O（0,0）实轴长2a虚轴长2b渐近线y=bax;y=abx24．等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，2e.5．直线与双曲线仅有一个交点的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.三、抛物线定义到定点的距离与到定直线的距离之比等于1的点的轨迹方程pxy22pxy22pyx22pyx22图形焦点)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF准线2px2px2py2py范围0,xyR0,xyR,0xyR,0xyR对称轴x轴y轴顶点（0，0）离心率1e通经2p焦半径12xpPF12xpPF12ypPF12ypPF1．抛物线22ypx中p的几何意义是焦点到准线的距离，恒正；焦点坐标、准线方程与2p相关，是一次项的四分之一2．注意抛物线焦点弦的特点：如22ypx中22121212,,4pyypxxABxxp3例题精讲例1．若直线10axy经过抛物线24yx的焦点，则实数a．例2.已知圆C的圆心与抛物线xy42的焦点关于直线xy对称.直线0234yx与圆C相交于BA,两点，且6AB,则圆C的方程为.例3.已知F1、F2为椭圆192522yx的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点。若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=。例4（08北京19）已知菱形ABCD的顶点AC，在椭圆2234xy上，对角线BD所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD过点(01)，时，求直线AC的方程；（Ⅱ）当60ABC时，求菱形ABCD面积的最大值．答案解：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为1yx．因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD．于是可设直线AC的方程为yxn．由2234xyyxn，得2246340xnxn．因为AC，在椭圆上，所以212640n，解得434333n．设AC，两点坐标分别为1122()()xyxy，，，，则1232nxx，212344nxx，11yxn，22yxn．4所以122nyy．所以AC的中点坐标为344nn，．由四边形ABCD为菱形可知，点344nn，在直线1yx上，所以3144nn，解得2n．所以直线AC的方程为2yx，即20xy．（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且60ABC，所以ABBCCA．所以菱形ABCD的面积232SAC．由（Ⅰ）可得22221212316()()2nACxxyy，所以234343(316)433Snn．所以当0n时，菱形ABCD的面积取得最大值43．例5（08全国221）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)AB，，，是它的两个顶点，直线)0(kkxy与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．（Ⅰ）若6EDDF，求k的值；（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．答案（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214xy，直线ABEF，的方程分别为22xy，(0)ykxk．·····································2分如图，设001122()()()DxkxExkxFxkx，，，，，，其中12xx，5且12xx，满足方程22(14)4kx，故212214xxk．①由6EDDF知01206()xxxx，得021221510(6)77714xxxxk；由D在AB上知0022xkx，得0212xk．所以221012714kk，化简得2242560kk，解得23k或38k．································································································6分（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点EF，到AB的距离分别为21112222(1214)55(14)xkxkkhk，22222222(1214)55(14)xkxkkhk．······························································9分又2215AB，所以四边形AEBF的面积为121()2SABhh214(12)525(14)kk22(12)14kk22144214kkk22≤，当21k，即当12k时，上式取等号．所以S的最大值为22．·················12分解法二：由题设，1BO，2AO．DFByxAOE6设11ykx，22ykx，由①得20x，210yy，故四边形AEBF的面积为BEFAEFSSS△△222xy···················································································································9分222(2)xy22222244xyxy22222(4)xy≤22，当222xy时，上式取等号．所以S的最大值为22．12分例6（本小题满分14分）椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为32，长轴端点与短轴端点间的距离为5．（I）求椭圆C的方程；（II）设过点D(0,4)的直线l与椭圆C交于,EF两点，O为坐标原点，若OEF为直角三角形，求直线l的斜率．解：（I）由已知,5,2322baac………………3分又222cba，解得,1,422ba所以椭圆C的方程为.1422yx………………………………5分（II）根据题意，过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在，设.4:kxyl联立，41422kxyyx，消去y得06032)41(22kxxk，…………6分24064)41(240)32(222kkk，7令0，解得.4152k………………………………………………7分设E、F两点的坐标分别为),(),,(2211yxyx，（i）当∠EOF为直角时，则2212214160,4132kxxkkxx，…………………………8分因为∠EOF为直角，所以0OFOE，即02121yyxx，………………9分所以016)(4)1(21212xxkxxk，所以04413241)1(152222kkkk，解得.19k………………11分（ii）当∠OEF或∠OFE为直角时，不妨设∠OEF为直角，此时，1kkOE，所以141111xyxy，即211214yyx……①…………12分又142121yx…………②将①代入②，消去x1得,0443121yy解得321y或21y（舍去），……………………13分将321y代入①，得,5321x所以5411xyk，……………14分经检验，所求k值均符合题意，综上，k的值为19和.5例7已知椭圆2222:1xyCab(0)ab的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线60xy相切．⑴求椭圆C的方程；⑵设(4,0)P，A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；【解析】⑴由题意知12cea，所以22222214cabeaa．即2243ab．8又因为6311b，所以24a，23b．故椭圆C的方程为22143xy．⑵由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为(4)ykx．由22(4),1.43ykxxy得2222(43)3264120kxkxk．①设点11(,)Bxy，22(,)Exy，则11(,)Axy．直线AE的方程为212221()yyyyxxxx．令0y，得221221()yxxxxyy．将11(4)ykx，22(4)ykx代入整理，得12121224()8xxxxxxx．②由①得21223243kxxk，2122641243kxxk代入②整理，得1x．所以直线AE与x轴相交于定点(1,0)Q．例8（12年东城期末）已知椭圆222210xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，点0,2M是椭圆的一个顶点，△21MFF是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为1k，2k，且128kk，证明：直线AB过定点（2,21）．解：（Ⅰ）由已知可得222,28bab，所求椭圆方程为22184xy．5分（Ⅱ）若直线AB的斜率存在，设AB方程为ykxm，依题意2m．设),(11yxA，),(22yxB，由,,14822mkxyyx得222124280kxkmxm．………7分则2121222428,1212kmmxxxxkk．由已知1212228yyxx，所以1212228kxmkxmxx，即1212228xxkmxx．…10分9所以42mkkm，整理得122mk．故直线AB的方程为122ykxk，即ky（21x）2．所以直线AB过定点（2,21）．………12分若直线AB的斜率不存在，设AB方程为0xx，设00(,)Axy，00(,)Bxy，由已知0000228yyxx，得012x．此时AB方程为12x，显然过点（2,21）．综上，直线AB过定点（2,21）．………13分例9已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(2,0)，(2,0)，离心率是63，直线椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P,圆心为P。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当