高中数学椭圆的经典知识总结

高中数学椭圆的经典知识总结椭圆知识点总结1.椭圆的定义：1,2（1）椭圆：焦点在x轴上时12222byax（222abc）cossinxayb（参数方程，其中为参数），焦点在y轴上时2222bxay＝1（0ab）。方程22AxByC表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。2.椭圆的几何性质：（1）椭圆（以12222byax（0ab）为例）：①范围：,axabyb；②焦点：两个焦点(,0)c；③对称性：两条对称轴0,0xy，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)ab，其中长轴长为2a，短轴长为2b；④准线：两条准线2axc；⑤离心率：cea，椭圆01e，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。⑥通径22ba2.点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)Pxy在椭圆外2200221xyab；（2）点00(,)Pxy在椭圆上220220byax＝1；（3）点00(,)Pxy在椭圆内2200221xyab3．直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0直线与椭圆相交；（2）相切：0直线与椭圆相切；（3）相离：0直线与椭圆相离；如:直线y―kx―1=0与椭圆2215xym恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；4、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径0redaex，其中d表示P到与F所对应的准线的距离。如（1）已知椭圆1162522yx上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答：10/3）；（2）椭圆13422yx内有一点)1,1(P，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使MFMP2之值最小，则点M的坐标为_______（答：)1,362(）；5、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：20tan||2Sbcy，当0||yb即P为短轴端点时，maxS的最大值为bc；6、弦长公式：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B，且12,xx分别为A、B的横坐标，则AB＝2121kxx，若12,yy分别为A、B的纵坐标，则AB＝21211yyk，若弦AB所在直线方程设为xkyb，则AB＝2121kyy。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。7、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆12222byax中，以00(,)Pxy为中点的弦所在直线的斜率k=－0202yaxb；如（1）如果椭圆221369xy弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（答：280xy）；（2）已知直线y=－x+1与椭圆22221(0)xyabab相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：22）；（3）试确定m的取值范围，使得椭圆13422yx上有不同的两点关于直线mxy4对称（答：213213,1313）；特别提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！椭圆知识点1．如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件ba,；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2．椭圆标准方程中的三个量cba,,的几何意义椭圆标准方程中，cba,,三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：)0(ba，)0(ca，且)(222cba。可借助右图理解记忆：显然：cba,,恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看2x，2y的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4．方程均不为零）CBACByAx,,(22是表示椭圆的条件方程CByAx22可化为122CByCAx，即122BCByACx，所以只有A、B、C同号，且AB时，方程表示椭圆。当BCAC时，椭圆的焦点在x轴上；当BCAC时，椭圆的焦点在y轴上。5．求椭圆标准方程的常用方法：①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数cba,,的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c相同。与椭圆12222byax)0(ba共焦点的椭圆方程可设为12222mbymax)(2bm，此类问题常用待定系数法求解。7．判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据：①若把曲线方程中的x换成x，方程不变，则曲线关于y轴对称；②若把曲线方程中的y换成y，方程不变，则曲线关于x轴对称；③若把曲线方程中的x、y同时换成x、y，方程不变，则曲线关于原点对称。8．如何求解与焦点三角形△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式2121sin2121PFFPFPFSFPF相结合的方法进行计算解题。将有关线段2121FFPFPF、、，有关角21PFF(21PFF21BFF)结合起来，建立21PFPF、21PFPF之间的关系.9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率)10(eace，因为222bac，0ca，用ba、表示为)10()(12eabe。显然：当ab越小时，)10(ee越大，椭圆形状越扁；当ab越大，)10(ee越小，椭圆形状越趋近于圆。椭圆题型1:椭圆定义的运用例1、已知12,FF为椭圆221259xy的两个焦点，过1F的直线交椭圆于A、B两点若2212FAFB，则AB______。例2、椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是例3、如果方程222xky表示焦点在x轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.例4、已知P为椭圆2212516xy上的一点，,MN分别为圆2231xy和圆2234xy上的点，则PMPN的最小值为题型2：求椭圆的标准方程例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)经过两点)2,3(A、(23,1)B；(2)经过点(2，－3)且与椭圆364922yx具有共同的焦点.（3）一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为42－4.题型3:求椭圆的离心率（或范围）例1、ABC中，．030,2,3ABCAABS若以,AB为焦点的椭圆经过点C，则椭圆的离心率为.例2、过椭圆的一个焦点2F作椭圆长轴的垂线交椭圆于P，若12FPF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为题型4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例1、已知实数,xy满足22142xy,则22xyx的范围为例2、已知P是椭圆22221xyab上一点，12,FF是椭圆的两个焦点，求12PFPF的最大值与最小值例3、已知点,AB是椭圆22221xymn（0,0mn）上两点,且AOBO,则=例4、如上图，把椭圆2212516xy的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于1,234567,,,,,PPPPPPP七个点，F是椭圆的一个焦点，则1234567PFPFPFPFPFPFPF_____题型5：焦点三角形问题例1、已知12,FF为椭圆22194xy的两个焦点，p为椭圆上的一点，已知12,,PFF为一个直角三角形的三个顶点，且12PFPF,求12PFPF的值；例2、已知12,FF为椭圆C:22184xy的两个焦点，在C上满足12PFPF的点的个数为例3、若12,FF为椭圆22194xy的两个焦点，p为椭圆上的一点，当12FPF为钝角时，点P横坐标的取值范围为例4、已知椭圆的焦点是)1,0(),1,0(21FF,且经过点（1，32）①求椭圆的方程;②设点P在椭圆上,且121PFPF,求cos21PFF.题型6:三角代换的应用例1、椭圆221169xy上的点到直线l:90xy的距离的最小值为___________．例2、椭圆221169xy的内接矩形的面积的最大值为题型7：直线与椭圆的位置关系的判断例1、当m为何值时，直线yxm与椭圆221169xy相交？相切？相离？例2、若直线)(1Rkkxy与椭圆1522myx恒有公共点，求实数m的取值范围；题型8：弦长问题例3．求直线24yx被椭圆224199xy所截得的弦长.例4、已知椭圆2212xy的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求⊿ABF2的面积；题型9：中点弦问题例5、求以椭圆22185xy内的点A（2，-1）为中点的弦所在的直线方程。例6、中心在原点，一个焦点为1(0,50)F的椭圆截直线32yx所得弦的中点横坐标为12，求椭圆的方程．例7、椭圆221mxny，与直线1xy相交于、两点，是的中点．若22AB，斜率为22（O为原点），求椭圆的方程．题型10：椭圆与向量、解三角形的交汇问题例6、设过点,Pxy的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若2BPPA，且1OQAB，求P点的轨迹方程;15.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=22。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；（2）设直线l的斜率为k，若∠MBN为钝角，求k的取值范围。基础巩固训练1.如图,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线1AB与BF交于D,且1BDB,则椭圆的离心率为2.设12,FF为椭圆2214xy的两焦点，P在椭圆上，当12FPF面积为1时，12PFPF的值为3.椭圆221369xy的一条弦被4,2A平分,那么这条弦所在的直线方程是4.在ABC△中，90A，3tan4B．若以,AB为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e5.若12,FF为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若3:2:1::211221PFFFPFFPF,则此椭圆的离心率为6.在平面直角坐标系中，椭圆22221(0)xyabab的焦距为2，以O为圆心，a为半径的圆，过点2(,0)ac作圆的两切线互相垂直，则离心率e=．综合提高训练7、已知椭圆22221(0)xyabab与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率32e．求椭圆方程；8.已知A、B分别是椭圆22221(0)xyabab的左右两个焦点，O为坐标原点，点P21,2在椭圆上