高中数学立体几何中的最值问题、内接外切、球面距离

立体几何查漏补缺第-1-页立体几何中的最值问题、内接外切、球面距离1.一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为3,,ab的三条线段，则ab的最大值为A．5B．6C．52D．3【答案】C【解析】构造一个长方体，让长为2的线段为体对角线，由题意知2222221,1,3aybxxy，即22222325abxy，又2252abab，所以52ab，当且仅当ab时取等号，所以选C.2.四棱锥PABCD-的三视图如右图所示，四棱锥PABCD-的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为22，则该球表面积为A.12pB.24pC.36pD.48p【答案】A【解析】将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥P-ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．且该正方体的棱长为a.设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF中点为G，连接OG，OA，AG.根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为22，即正方体面对角线长也是22,可得222AGa,所以正方体棱长2a,在直角三角形OGA中，112OGa,3AO,即外接球半径3R，得外接球表面积为2412R,选A.3.若三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，23,SA1AB，2AC，60BAC，则球O的表面积为（）A．64B．16C．12D．4【答案】B【解析】因为1AB，2AC，60BAC，所以2212212cos603BC，所以3BC。所以90ABC，即ABC为直角三角形。因为三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，所以斜边AC的中点是截面小圆的圆心'O，即小圆的半径为1322rAC.,因为,OAOS是半径，所以三角形AOS为等腰三角形，过O作OMSA,则M为中点，所以123'322OOAMSA,所以半径立体几何查漏补缺第-2-页222'(3)142OAOOr，所以球的表面积为2416R,选B.4.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为22，外接球的体积是323p，则A、B两点的球面距离为____________.【答案】23【解析】因为正四棱柱外接球的体积为323p，所以343233Rpp=,即外接球的半径为2R，所以正四棱柱的体对角线为24R，设底面边长为x，则222(2)(22)4x，解得底面边长2x。所以三角形AOB为正三角形，所以3AOB，所以A、B两点的球面距离为233R.5.设A、B、C、D为球O上四点，若AB、AC、AD两两互相垂直，且6ABAC，2AD，则A、D两点间的球面距离。【答案】23【解析】因为AB、AC、AD两两互相垂直，所以分别以AB、AC、AD为棱构造一个长方体，在长方体的体对角线为球的直径，所以球的直径2222(6)(6)2164R，所以球半径为2R,在正三角形AOD中，3AOD，所以A、D两点间的球面距离为233R.6.如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的体积是立体几何查漏补缺第-3-页【答案】43【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形，,7.在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，1P，2P分别为线段AB，1BD（不包括端点）上的动点，且线段12PP平行于平面11AADD，则四面体121PPAB的体积的最大值是A．124B．112C．16D．12【答案】A【解析】过2P做2PO底面于O,连结1OP,则1OPAB，即1OP为三棱锥211PPAB的高，设101APxx，，则由题意知1//OPAD,所以有11OPBPADAB，即11OPx。三角形1112APBSx，所以四面体121PPAB的体积为11211111111(1)(1)()33266224APBxxSOPxxxx，当且仅当1xx，即12x时，取等号，所以四面体121PPAB的体积的最大值为124，选A.8.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点,EF分别是棱1,BCCC的中点，P是侧面11BCCB内一点，若1//AP平面,AEF则线段1AP长度的取值范围是A．5[1,]2B.325[,]42C.5[,2]2D.[2,3]【答案】B【解析】取11BC的中点M,1BB的中点N,连结11,,AMANMN，可以证明平面1//AMN平面AEF，所以点P位于线段MN上，把三角形1AMN拿到平面上，则有211151()22AMAN,22112()()222MNB1C1D1A1FEBCDA立体几何查漏补缺第-4-页所以当点P位于,MN时，1AP最大，当P位于中点O时，1AP最小，此时2215232()()244AO，所以111AOAPAM，即132542AP，所以线段1AP长度的取值范围是325[,]42，选B.9.正三棱柱111CBAABC内接于半径为1的球，则当该棱柱体积最大时，高h。【答案】332【解析】根据对称性可知，球心O位于正三棱柱上下底面中心连线的中点上。设正三棱柱的底面边长为x，则3233,'2323ABxABxx，所以223'1()133xOBx,所以高22'213xhOB，由2103x得23x，即正三棱柱底面边长x的取值范围是03x。三棱柱的体积为222213321122323xxxVx2223(1)23xxx,222222222314663(1)36(1)36()366333xxxxxxxxx,即体积22233423(1)23233xVxx,当且仅当22163xx，即22x时取等号，此时高22123212123333xh。10.已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为.【答案】2【解析】将该三棱锥放入正方体内，若球与三棱锥各棱均相切等价于球与正方体各面均相切，所以222,2RR,则球的表面积为214422SR.