高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 文

第八章平面解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.考纲下载1.直线与圆的位置关系的判断、两圆位置关系的判断是高考的常考内容，主要以选择题或填空题形式考查，难度较小．2．由直线与圆的方程求弦长或求参数是高考热点之一，多以选择题或填空题形式考查．请注意突破考点04高考真题演练突破考点01突破考点02突破考点03课时作业突破考点01集合的基本概念（基础送分型——自主练透）判别直线与圆的位置关系的方法(1)代数法――→判别式Δ＝b2－4ac⇔相交⇔相切⇔相离(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr⇔________；d＝r⇔________；dr⇔________.(1)Δ0Δ＝0Δ0(2)相交相切相离【调研1】(1)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是()A．－2或12B．2或－12C．－2或－12D．2或12【解析】依据题意得圆的圆心为(1,1)，半径为r＝1.因为直线和圆相切，所以|3＋4－b|32＋42＝1，解得b＝12或b＝2，故选D.【答案】D(2)(2014·安徽卷)若过点P(－3，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是()A.0，π6B.0，π3C.0，π6D.0，π3【解析】设直线l的方程为y＋1＝k(x＋3)．即kx－y＋3k－1＝0.由d＝|3k－1|k2＋1≤1，得0≤k≤3.【答案】D(3)(2013·陕西卷)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定【解析】因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b21，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝|a·0＋b·0－1|a2＋b2＝1a2＋b21.所以直线与圆相交．【答案】B判断直线与圆的位置关系一般可采用几何法或代数法．一般情况下，几何法由于计算量小而优于代数法．突破考点02与圆有关的弦长问题（重点得分型——师生共研）求圆的弦长的两种方法(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则l22＝r2－d2；(2)代数法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2].【调研2】(1)(2014·重庆卷)已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．【解析】圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆C的圆心为(－1,2)，半径r＝3.又直线x－y＋a＝0与圆C交于A，B两点，且AC⊥BC，所以圆心C到直线x－y＋a＝0的距离d＝322，所以|－1－2＋a|12＋－12＝322，整理得|a－3|＝3，解得a＝0或a＝6.【答案】0或6(2)(2013·浙江卷)直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．【解析】圆x2＋y2－6x－8y＝0，即(x－3)2＋(y－4)2＝25，圆心(3,4)，半径r＝5；圆心到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝|2×3－4＋3|5＝5，弦长l＝2r2－d2＝225－5＝45.【答案】45圆的弦长的常用求法(1)几何法：设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆D：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，弦心距d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2，弦长为l，则l22＝r2－d2.(2)代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2y1＋y22－4y1y2.(1)(2016·北京东城教学检测)已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．解析：圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径为r＝5.由题意知AC⊥BD，且AC为圆的直径，长为10，最短弦BD的中点为(3,5)，由勾股定理可算出|BD|＝252－12＝46.故S＝12|AC|·|BD|＝206.答案：206(2)(2016·河南商丘模拟)已知圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝1(a0)与直线y＝2x相交于P，Q两点，则当△CPQ的面积最大时，实数a的值为________．解析：圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝1(a0)的圆心为(a，a)，半径为1，圆心到直线y＝2x的距离d＝|2a－a|5＝a5，半弦长为1－a52＝25－5a25，∴S△CPQ＝a5×25－5a25＝a25－a25＝5a2－a45，当a2＝52，S△CPQ取得最大值，最大值为5×52－5225＝12.此时a＝102.答案：102突破考点03圆的切线问题（重点得分型——师生共研）(1)过圆x2＋y2＝r2(r0)上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2；(2)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点M(x0，y0)引切线，有两条，求方程的方法是待定系数法，利用圆心到直线的距离等于半径或Δ＝0列方程求参数．切点为T的切线长公式为|MT|＝x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＝|MC|2－r2(其中C为圆C的圆心，r为其半径)．【调研3】(1)(2012·江西卷)过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．【解析】直线与圆的位置关系如图，设P(x，y)，切点为A，则OA＝1.在直角三角形APO中，OA＝1，∠APO＝30°，则OP＝2，即x2＋y2＝4.又x＋y－22＝0，解得x＝y＝2，即P(2，2)．【答案】(2，2)(2)(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．【解析】由题意得，圆的半径r＝|－m－1|m2＋1＝m＋12m2＋1＝1＋2mm2＋1＝1＋2m＋1m≤2，当且仅当m＝1m，即m＝±1时，取“＝”，所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.【答案】(x－1)2＋y2＝2直线与圆相切的问题，常采用几何法转化为圆心到直线的距离d等于半径r.如本例中的第(2)题，从而转化为代数关系式，利用函数的方法求解．从直线l：x＋y＝1上一点P向圆C：x2＋y2＋4x＋4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为________．解析：方法1：圆C的方程化为(x＋2)2＋(y＋2)2＝1，圆心为C(－2，－2)，半径r＝1.设直线l上任意一点P(x，y)，则由x＋y＝1，得y＝1－x.则|PC|＝x＋22＋y＋22＝x＋22＋1－x＋22＝2x2－2x＋13.设过点P的切线与圆相切于点Q，则CQ⊥PQ.故|PQ|2＝|PC|2－r2＝(2x2－2x＋13)－1＝2x2－2x＋12＝2x－122＋232，所以当x＝12时，|PQ|2取得最小值，最小值为232，此时切线长为|PQ|＝232＝462.方法2：圆C的方程化为(x＋2)2＋(y＋2)2＝1，圆心为C(－2，－2)，半径r＝1.设过点P的切线与圆相切于点Q，则CQ⊥PQ.故|PQ|＝|PC|2－r2＝|PC|2－1.故当|PC|取得最小值时，切线长最小．显然，|PC|的最小值为圆心C到直线l的距离d＝|－2－2－1|12＋12＝522，所以切线长的最小值为5222－1＝462.答案：462突破考点04圆与圆的位置关系（题点多变型——一题多变）1．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r10)．圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r20).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离外切相交内切内含2.两个圆系方程(1)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，因此注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．1.dr1＋r2无解d＝r1＋r2一组实数解|r1－r2|dr1＋r2两组不同的实数解d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解0≤d|r1－r2|(r1≠r2)无解【调研4】(2016·合肥模拟)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为()A.62B.32C.94D．23【解析】由已知得圆C1圆心C1(a，－2)，圆C2圆心C2(－b，－2)，由两圆外切可知|a＋b|＝3，故a2＋2ab＋b2＝9，∴4ab≤9，∴ab≤94，故选C.【答案】C【题点发散一】本例条件中“外切”变为“内切”，则ab的最大值为________．【解析】由C1与C2内切，得a＋b2＋－2＋22＝1.即(a＋b)2＝1，又ab≤a＋b22＝14，当且仅当a＝b时等号成立，故ab的最大值为14.【答案】14【题点发散二】本例条件“外切”变为“相交”，则公共弦所在的直线方程为________．【解析】由题意得，把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程．圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0，①圆C2：x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0，②由②－①得(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0，即(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0为所求公共弦所在直线方程．【答案】(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0【题点发散三】本例条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，则直线x＋y－1＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1的位置关系是________．【解析】由两圆存在四条切线，故两圆外离，a＋b2＋－2＋223，∴(a＋b)29.即a＋b3或a＋b－3.又圆心(a，b)到直线x＋y－1＝0的距离d＝|a＋b－1|21∴直线x＋y－1＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1相离．【答案】相离1.判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．2．当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．