高考数学总复习 第3章 第7节 正弦定理双基自测 理(新版)苏教版必修1

教育资源第七节正弦定理、余弦定理的应用举例考纲传真内容要求ABC正弦定理、余弦定理及其应用√教育资源1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际应用中的常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角教育资源方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角的范围是0°～360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度例：(1)北偏东m°(2)南偏西n°坡角坡面与水平面的夹角设坡角为α，坡度为i，则i＝hl＝tanα教育资源坡度(或坡比)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α＝β.()(2)若点A在点B的北偏东30°方向，则点B在点A的东偏北60°方向．()(3)坡度是坡面与水平面所成的二面角的度数．()(4)如图3­7­1所示，B，C，D三点在地面同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为β和α(αβ)，则可以求出A点距地面的高度AB.()教育资源图3­7­1[解析]根据相关角的概念知(1)正确，(2)(3)错误．对于(4)，在△ACD中，由正弦定理可求AC，AC＝asinαβ－α.在Rt△ABC中，AB＝AC·sinβ，因为a，α，β已知，故AB可求，所以(4)正确．[答案](1)√(2)×(3)×(4)√2．(教材习题改编)某海域有A，B，C三个小岛，测得A岛在B岛的北偏东15°方向上且距B岛10海里，C岛在B岛正东方向，在A岛南偏东45°方向上，则B，C两岛间的距离为________海里．[解析]根据题意画出示意图，在△ABC中，AB＝10，∠BAC＝15°＋45°＝60°，∠BCA＝45°，由正弦定理，得BCsin∠BAC＝ABsin∠BCA，所以BC＝教育资源AB·sin∠BACsin∠BCA＝10sin60°sin45°＝10×3222＝56.[答案]563．为了测量河的宽度，在岸的一边选取两点A和B，观测对岸标记C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则河宽为________m(保留根式)．[解析]如图所示，CD为河的宽度，教育资源CDtan45°＋CDtan75°＝120.∴CD＝1201tan45°＋1tan75°＝20(3＋3)m.[答案]20(3＋3)4．在O点测量一在做匀速直线运动的物体，开始时刻物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ＝90°，再过一分钟，该物体位于R点，且∠QOR＝30°，则tan∠OPQ的值为________．[解析]如图所示，由于物体做匀速直线运动，根据题意，PQ＝QR，不妨设其长度为1.在Rt△POQ中，OQ＝sin∠OPQ，OP＝cos∠OPQ，教育资源在△OPR中，由正弦定理得2sin120°＝OPsin∠ORP.在△ORQ中，1sin30°＝OQsin∠ORQ，综上得OQOP＝tan∠OPQ＝32.[答案]325.如图3­7­2，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝120°，CD＝10m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________m.教育资源图3­7­2[解析]在△BCD中，CD＝10，∠BCD＝30°，∠BDC＝120°，∴∠CBD＝180°－30°－120°＝30°由正弦定理，得BCsin120°＝10sin30°，∴BC＝10sin120°sin30°＝10×3212＝103.在Rt△ABC中，AB＝BC·tan60°＝103×3＝30.[答案]30考向1测量高度问题【典例1】第二届夏季青年奥林匹克运动会于2014年8月16日在南京开幕，开幕式上举行升旗仪式，在坡角为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106m(如图3­7­3所示)，求旗杆的高度．教育资源图3­7­3[解]设最后一排和第一排的观测点分别为A，B，旗杆顶端和底端分别为C，D，则依题意画出示意图．如图，在△ABC中，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°.教育资源由正弦定理得106sin30°＝BCsin45°，所以BC＝206×22＝203.在Rt△CBD中，CD＝BCsin60°＝203×32＝30(m)．【规律方法】1．在测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．2．分清已知条件与所求，画出示意图；明确在哪个三角形内运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，并注意综合运用方程、平面几何、立体几何等知识．【变式训练1】如图3­7­4所示，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，在C点测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，求塔AB的高度．教育资源图3­7­4[解]在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，BCsin45°＝CDsin30°，BC＝CDsin45°sin30°＝102，在Rt△ABC中，tan60°＝ABBC，AB＝BCtan60°＝106(米)．考向2测量角度问题【典例2】在海岸A处，发现北偏东45°方向、距离A处(3－1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？教育资源[解]设缉私船t小时后在D处追上走私船，则有CD＝103t，BD＝10t.在△ABC中，AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°.利用余弦定理可得BC＝6.由正弦定理，得sin∠ABC＝ACBCsin∠BAC＝26×32＝22，∴∠ABC＝45°，因此BC与正北方向垂直．于是∠CBD＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BDsin∠CBDCD＝10t·sin120°103t＝12，得∠BCD＝30°，教育资源又CDsin120°＝BCsin30°，即103t3＝6，得t＝610.所以当缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船，最少要花610小时．【规律方法】1．本题求解的关键是理解方位角、方向角的概念，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最重要的一步．2．(1)对于和航行有关的问题，要抓住时间和路程两个关键量，解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件求解．(2)根据示意图，把所求量放在有关三角形中，有时直接解此三角形解不出来，需要先在其他三角形中求解相关量．【变式训练2】(2014·镇江模拟)已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？图3­7­5参考数据：sin38°＝5314，sin22°＝3314教育资源[解]如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点．缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5海里．依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，又AB＝3，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°，∴(0.5x)2＝32＋52－2×3×5×－12＝49，∴x＝14，∴BC＝0.5x＝7.又由正弦定理，得sin∠ABC＝AC·sin∠BACBC＝5×327＝5314.教育资源∵sin38°＝5314，∴∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，∴BC∥AD.故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．考向3测量距离问题(高频考点)命题视角测量距离问题是正弦定理和余弦定理应用中的重点内容，也是历年考试考查的重点，归纳起来常见的命题角度有：(1)两点都不可到达的距离；(2)两点不相通的距离；(3)两点间可视但有一点不可到达的距离．【典例3】(2014·徐州调研)为了吸引游客，增加旅游业收入，徐州市旅游局准备在云龙湖边增设两个景点B和C，为此要计算两景点B与C的距离．由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得AD⊥CD，AD＝100m，AB＝140m，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B与C之间的距离．(假设A，B，C，D在同一平面内，测量法需保留整数；参考数据：2＝1.414，3＝1.732，5＝2.236)图3­7­6[思路点拨]先在△ABD中，利用余弦定理求BD，然后在△BCD中，利用正弦定理求BC.[解]在△ABD中，设BD＝xm，教育资源则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即1402＝x2＋1002－2×100×x×cos60°，整理得x2－100x－9600＝0，解之得x1＝160，x2＝－60(舍去)，故BD＝160m，在△BCD中，由正弦定理，得：BCsin∠CDB＝BDsin∠BCD，又AD⊥CD，∴∠CDB＝30°，∴BC＝160sin135°·sin30°＝802≈113(m)．即两景点B与C之间的距离约为113m．【通关锦囊】研究测量距离问题，解决此类问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题从而利用正、余弦定理求解．【变式训练3】要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距3km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B之间的距离．[解]如图所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝3km.在△BCD中，∠BCD＝45°，教育资源∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝3sin75°sin60°＝6＋22.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(3)2＋6＋222－2×3×6＋22×cos75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB＝5(km)，∴A，B之间的距离为5km.考向4距离或角度的最值问题【典例4】(2014·南京模拟)如图3­7­7，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：km)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?教育资源图3­7­7[解]法一：设∠AMN＝θ，在△AMN中，MNsin60°＝AM－θ.因为MN＝2，所以AM＝433sin(120°－θ)．在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)，AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝163sin2(120°－θ)＋4－2×2×433sin(120°－θ)·cos(60°＋θ)教育资源＝163sin2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4＝83[1－cos(2θ＋120°)]－833sin(2θ＋120°)＋4＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0°，120°)．当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值23.答：设计∠AMN＝60°，即AN＝AM＝2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．法二：设AM＝x，AN＝y，∠AMN＝α在△AMN中，∵MN＝2，∠MAN＝60°∴MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN·cos∠MAN即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－x