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课时作业(三十九)[第39讲空间点、直线、平面之间的位置关系](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．[2012·吉林期末]一个正方体的展开图如图K39－1所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()图K39－1A．AB∥CDB．AB与CD相交C．AB⊥CDD．AB与CD所成的角为60°2．[2012·青岛模拟]已知a，b，c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个3．[2012·琼海模拟]已知一个平面α，l为空间中的任意一条直线，那么在平面α内一定存在直线b使得()A．l∥bB．l与b相交C．l与b是异面直线D．l⊥b4．以下四个命题中，正确的命题是________(填序号)．①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．能力提升5．平面α∩β＝l，直线m⊂α，直线n⊂β，则m，n的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．无法确定6．在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，设BC＋AD＝2a，则MN与a的大小关系是()A．MNaB．MN＝aC．MNaD．不能确定7．[2012·开封调研]以下四个命题中①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．38．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交9．如图K39－2所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()图K39－2A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BC10．共点的四条直线最多能确定平面的个数是________．11．给出下列条件：①空间的任意三点；②空间的任意两条直线；③梯形的两条腰所在的直线；④空间的任意一条直线和任意一个点；⑤空间两两相交的三条直线．其中一定能独立确定一个平面的条件的序号是________．12．[2012·杭州检测]已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)．13．若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对．14．(10分)如图K39－3，设E，F，G，H分别是三棱锥A－BCD的棱AB、BC、CD、AD的中点，若AC＝BD＝1，求EG2＋FH2的值．图K39－315．(13分)已知：如图K39－4，空间四边形ABCD中，E，H分别是边AB，AD上的点，F，G分别是边BC，CD上的点，且AEAB＝AHAD＝λ，CFCB＝CGCD＝μ(0λ，μ1)，试判断FE，GH与AC的位置关系．图K39－4难点突破16．(12分)如图K39－5，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊12AD，BE綊12FA，G、H分别为FA、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(3)证明：FE、AB、CD三线共点．图K39－5课时作业(三十九)【基础热身】1．D[解析]将平面展开图还原成几何体，易知AB与CD所成的角为60°，选D.2．B[解析]①不对，b，c可能异面；②不对，b，c可能平行；平行移动直线不改变这条直线与其他直线的夹角，故③对，选B.3．D[解析]当l⊥α或l∥α时，在平面α内，显然存在直线b使得l⊥b；当l与α斜交时，只需要b垂直于l在平面α内的射影即可得到l⊥b.4．①[解析]①正确，可以用反证法证明，假设有三点共线，则由直线和直线外一点确定一个平面，得这四点共面；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．【能力提升】5．D[解析]如图，可知三种关系都有可能．6．C[解析]取AC中点E，则ME∥BC，且ME＝12BC，NE∥AD，且NE＝12AD，∴BC＋AD＝2(ME＋NE)＝2a，在△MNE中，MNME＋NE＝a.故选C.7．B[解析]①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面．这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确．②从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．故选B.8．D[解析]若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB∥CD；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.9．C[解析]由题意知，D∈l，l⊂β，∴D∈β.又D∈AB，∴D∈平面ABC，即D在平面ABC与平面β的交线上．又C∈平面ABC，C∈β，∴点C在平面β与平面ABC的交线上．从而有平面ABC∩平面β＝CD，故选C.10．6[解析]观察四棱锥模型，它的四个侧面，以及两个对角面，可以看成共点的四条直线最多能确定平面的个数的情形．11．③[解析]①中三点共线时，②中两直线不平行也不相交时，④中点在直线上时，⑤中三直线交于一点时(此时可能不共面)，都不能独立确定一个平面．12．①②④[解析]①、②、④对应的情况如下：用反证法证明③不可能．13．24[解析]正方体如图，若要出现所成角为60°的异面直线，则直线必须是面对角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A′B，BC′，A′D，C′D，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有12×42＝24对(每一对被计算两次，所以记好要除以2)．14．解：易知四边形EFGH为平行四边形，由平行四边形性质知：EG2＋FH2＝2(EF2＋FG2)＝2×14(AC2＋BD2)＝12×(12＋12)＝1.15．解：∵AEAB＝AHAD＝λ，CFCB＝CGCD＝μ，∴EH∥BD，FG∥BD.∴EH∥FG，EH＝λ·BD，FG＝μ·BD.①当λ＝μ时，EH∥FG，且EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH.AHAD＝CGCD，∴HG∥AC.由公理4知，EF∥GH∥AC.②当λ≠μ时，EH∥FG，但EH≠FG.∴四边形EFGH是梯形，且EH，FG为上下两底边，∴EF，GH为梯形的两腰，它们必交于点P，P∈直线EF，P∈直线HG.又EF⊂平面ABC，HG⊂平面ADC，∴P∈平面ABC，P∈平面ADC，∴P是平面ABC和平面ADC的公共点．又∵平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈直线AC，∴三条直线EF，GH，AC交于一点．综上所述，当λ＝μ时，三条直线EF，GH，AC互相平行；当λ≠μ时，三条直线EF，GH，AC交于一点．【难点突破】16．解：(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，所以GH綊12AD.又BC綊12AD，故GH綊BC，所以四边形BCHG是平行四边形．(2)C、D、F、E四点共面．理由如下：由BE綊12AF，G是FA的中点知，BE綊GF，所以EF∥BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面．又点D在直线FH上，所以C、D、F、E四点共面．(3)证明：连接EC，∵BE綊12AF，BC綊12AD，∴BEAF＝BCAD＝12，故EC∥FD且EC≠FD，∴FE与DC交于一点P.又AB⊂平面ABEF，AB⊂平面ABCD，∴P点在AB上，故FE、DC、AB三线共点．