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一、知识要点观察是解决问题的根据。通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。【例题1】【例题1】先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。1，4，7，10，（），16，19【思路导航】在这列数中，相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。根据这一规律，括号里应填的数为：10+3=13或16－3=13。像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。练习1：先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。（1）2，6，10，14，（），22，26（2）3，6，9，12，（），18，21（3）33，28，23，（），13，（），3（4）55，49，43，（），31，（），19（5）3，6，12，（），48，（），192（6）2，6，18，（），162，（）（7）128，64，32，（），8，（），2（8）19，3，17，3，15，3，（），（），11，3.【例题2】【例题2】先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。1，2，4，7，（），16，22【思路导航】在这列数中，前4个数每相邻的两个数的差依次是1，2，3。由此可以推算7比括号里的数少4，括号里应填：7+4=11。经验证，所填的数是正确的。应填的数为：7+4=11或16-5=11。【练习2】先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。（1）10，11，13，16，20，（），31（2）1，4，9，16，25，（），49，64（3）3，2，5，2，7，2，（），（），11，2（4）53，44，36，29，（），18，（），11，9，8（5）81，64，49，36，（），16，（），4，1，0（6）28，1，26，1，24，1，（），（），20，1（7）30，2，26，2，22，2，（），（），14，2（8）1，6，4，8，7，10，（），（），13，14•【例题3】先找出规律，然后在括号里填上适当的数。•23，4，20，6，17，8，（），（），11，12•【思路导航】在这列数中，第一个数减去3的差是第三个数，第二个数加上2的和是第四个数，第三个数减去3的差是第五个数，第四个数加上2的和是第六个数……依此规律，8后面的一个数为：17-3=14，11前面的数为：8+2=10•练习3：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。•（1）1，6，5，10，9，14，13，（），（）•（2）13，2，15，4，17，6，（），（）•（3）3，29，4，28，6，26，9，23，（），（），18，14•（4）21，2，19，5，17，8，（），（）•（5）32，20，29，18，26，16，（），（），20，12•（6）2，9，6，10，18，11，54，（），（），13，486•（7）1，5，2，8，4，11，8，14，（），（）•（8）320，1，160，3，80，9，40，27，（），（）•【例题4】在数列1，1，2，3，5，8，13，（），34，55……中，括号里应填什么数？•【思路导航】经仔细观察、分析，不难发现：从第三个数开始，每一个数都等于它前面两个数的和。根据这一规律，括号里应填的数为：8+13=21或34－13=21•上面这个数列叫做斐波那切（意大利古代著名数学家）数列，也叫做“兔子数列”•练习4：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。•（1）2，2，4，6，10，16，（），（）•（2）34，21，13，8，5，（），2，（）•（3）0，1，3，8，21，（），144•（4）3，7，15，31，63，（），（）•（5）33，17，9，5，3，（）•（6）0，1，4，15，56，（）•（7）1，3，6，8，16，18，（），（），76，78•（8）0，1，2，4，7，12，20，（）•【例题5】下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。•（8，4）（5，7）（10，2）（□，9）•【思路导航】经仔细观察、分析，不难发现：每个括号里的两个数相加的和都是12。根据这一规律，□里所填的数应为：12－9=3•练习5：下面括号里的两个数是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。•（1）（6，9）（7，8）（10，5）（□，）•（2）（1，24）（2，12）（3，8）（4，□）•（3）（18，17）（14，10）（10，1）（□，5）•（4）（2，3）（5，9）（7，13）（9，□）•（5）（2，3）（5，7）（7，10）（10，□）•（6）（64，62）（48，46）（29，27）（15，□）•（7）（100，50）（86，43）（64，32）（□，21）•（8）（8，6）（16，3）（24，2）（12，□）•第2讲找规律（二）•一、知识要点•对于较复杂的按规律填数的问题，我们可以从以下几个方面来思考：•1.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析；•2.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的突破口。•3.对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式。•【例题1】先计算下面一组算式的第一题，然后找出其中的规律，并根据规律直接写出后几题的得数。12345679×9=12345679×18=12345679×54=12345679×81=•【思路导航】题中每个算式的第一个因数都是12345679，它是有趣的“缺8数”，与9相乘，结果是由九个1组成的九位数，即：111111111。不难发现，这组题得数的规律是：只要看每道算式的第二个因数中包含几个9，乘积中就包含几个111111111。•因为：12345679×9=111111111•所以：12345679×18=12345679×9×2=222222222•12345679×54=12345679×9×6=66666666612345679×81=12345679×9×9=999999999.•练习3：找规律，写得数。•（1）1+0×9=2+1×9=3+12×9=4+123×9=9+12345678×9=•（2）1×1=11×11=111×111=111111111×111111111=•（3）19+9×9=118+98×9=1117+987×9=11116+9876×9=111115+98765×9=•【例题4】找规律计算。（1）81－18=（8－1）×9=7×9=63•（2）72—27=（7－2）×9=5×9=45（3）63－36=（□－□）×9=□×9=□•【思路导航】经仔细观察、分析可以发现：一个两位数与交换它的十位、个位数字位置后的两位数相减，只要用十位与个位数字的差乘9，所得的积就是这两个数的差。•练习4：•1．利用规律计算。（1）53－35（2）82－28（3）92－29（4）61－16（5）95－59•2．找规律计算。（1）62+26=（6+2）×11=8×11=88（2）87+78=（8+7）×11=15×11=165（3）54+45=（□+□）×11=□×11=□•【例题5】计算（1）26×11（2）38×11•【思路导航】一个两位数与11相乘，只要把这个两位数的两个数字的和插入这两个数字中间，就是所求的积。（1）26×11=2（2+6）6=286（2）38×11=3（3+8）8=418•注意：如果两个数字的和满十，要向前一位进一。•练习5：计算下面各题。（1）27×11（2）32×11（3）39×11（4）46×11（5）92×11（6）98×11第3讲简单推理•一、知识要点•解答推理问题，要从许多条件中找出关键条件作为推理的突破口。推理要有条理地进行，要充分利用已经得出的结论，作为进一步推理的依据。•二、精讲精练•【例题1】一包巧克力的重量等于两袋饼干的重量，4袋牛肉干的重等于一包巧克力的重量，一袋饼干等于几袋牛肉干的重量？•【思路导航】根据“一包巧克力的重量=两袋饼干的重量”与“4袋牛肉干的重量=一包巧克力的重量”可推出：两袋饼干的重量=4袋牛肉干的重量。因此，一袋饼干的重量=两袋牛肉干的重量。•练习1：•（1）一只菠萝的重量等于4根香蕉的重量，两只梨子的重量等于一只菠萝的重量，一只梨子的重量等于几根香蕉的重量？•（2）3包巧克力的重量等于两袋糖的的重量，12袋牛肉干的重量等于3包巧克力的重量，一袋糖的重量等于几袋牛肉干的重量？•（3）一只小猪的重量等于6只鸡的重量，3只鸡的重量等于4只鸭的重量。一只小猪的重量等于几只鸭的重量？•【例题2】一头象的重量等于4头牛的重量，一头牛的重量等于3匹小马的重量，一匹小马的重量等于3头小猪的重量。一头象的重量等于几头小猪的重量？•【思路导航】根据“一头象的重量等于4头牛的重量”与“一头牛的重量等于3匹小马的重量”可推出：“一头象的重量等于12匹小马的重量”，而“一匹小马的重量等于3头小猪的重量”，因此，一头象的重量等于36头小猪的重量。•练习2：•（1）一只西瓜的重量等于两个菠萝的重量，1个菠萝的重量等于4个苹果的重量，1个苹果的重量等于两个橘子的重量。1只西瓜的重量等于几个橘子的重量？•（2）一头牛一天吃草的重量和一只兔子9天吃草的重量相等，也和6只羊一天吃草的重量相等。已知一头牛每天吃青草18千克，一只兔子和一只羊一天共吃青草多少千克？•（3）一只小猪的重量等于6只鸡的重量，3只鸡的重量等于4只鸭的重量，两只鸭的重量等于6条鱼的重量。问：两只小猪的重量等于几条鱼的重量？•【例题3】根据下面两个算式，求○与□各代表多少？○＋○＋○=18○＋□=10•【思路导航】在第一个算式中，3个○相加的和是18，所以○代表的数是：18÷3=6，又由第二个算式可求出□代表的数是：10－6=4.•练习3：•（1）根据下面两个算式，求□与△各代表多少？•□＋□＋□＋□=32△－□=20•（2）根据下面两个算式，求○与□各代表多少？○＋○＋○=15○＋○＋□＋□＋□=40•（3）根据下面两个算式，求○与△各代表多少？○－△=8△＋△＋△=○•【例题4】根据下面两个算式，求○与△各代表多少？•△－○=2○＋○＋△＋△＋△=56•【思路导航】由第一个算式可知，△比○多2；如果将第二个算式的○都换成△，那么5个△=56＋2×2，△=12，再由第一个算式可知，○=12－2=10.•练习4：•（1）根据下面两个算式求□与○各代表多少？•□－○=8□＋□＋○＋○=20•（2）根据下面两个算式，求△与○各代表多少？•△＋△＋△＋○＋○=78△＋△＋○＋○＋○=72•（3）根据下面两个算式，求△与□各代表多少？•△＋△＋△－□－□=12□＋□＋□－△－△=2•【例题5】甲、乙、丙三人分别是一小、二小和三小的学生，在区运动会上他们分别获得跳高、跳远和垒球冠军。已知：二小的是跳远冠军；一小的不是垒球冠军，甲不是跳高冠军；乙既不是二小的也不是跳高冠军。问：他们三个人分别是哪个学校的？获得哪项冠军？•【思路导航】由“二小的是跳远冠军”可知垒球、跳高冠军是一小或三小的；因为“一小的不是垒球冠军”，所以一小一定是跳高冠军，三小的是垒球冠军；由“甲不是跳远冠军”，“乙既不是二小的也不是跳高冠军”可知，一小的甲是跳高冠军，二小的丙是跳远冠军，三小的乙是垒球冠军。•练习5：•（1）有三个女孩穿着崭新的连衣裙去参加游园会。一个穿花的，一个穿白的，一个穿红的。但不知哪一个姓王、哪一个姓李、哪一个姓刘。只知道姓刘的不喜欢穿红的，姓王的既不是穿红裙子，也不是穿花裙子。你能猜出这三个女孩各姓什么吗？•（2）小兔、小猫、小狗、小猴和小鹿参加100米比赛，比赛结束后