搜索
1．2.1集合之间的关系知识整合1．对于两个集合A与B，如果集合A的________一个元素都是集合B的元素，就说集合A________集合B(或集合B______集合A)，记作A______B(或B________A)，这时，也说集合A是集合B的________．2．集合A不包含于集合B(或集合B不包含集合A)，记作A________B(或B________A)．3．如果________，并且________，那么集合A叫集合B的真子集，记作________或________．4．空集是任意一个集合的________，记作Ø________A；空集又是任意________集合的________，任意一个集合都是它本身的________．特别警示：若A⊆B，则先考虑A＝Ø的情形，在解题时容易忽略这一点而导致不必要的错误．5．一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的________一个元素都是集合B的元素，同时，集合B的________一个元素都是集合A的元素，就说集合A________集合B，记作________，对于集合A、B，如果A⊆B，同时B⊆A，那么________．经验公式：有限集合的子集的个数：n个元素组成的集合的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．答案：1.任意包含于包含⊆⊇子集2．3．集合A是集合B的子集B中至少有一个元素不属于AABBA4．子集⊆非空真子集子集5．任意任意等于A＝BA＝B名师解答我们知道，两个实数之间有相等、大于、小于等关系，那么元素与集合、集合与集合之间是否也有类似的关系？集合间的基本关系与实数间的关系可否比较？(1)从属关系(∈)只能用在元素与集合之间；包含关系(⊆)只能用在集合与集合之间．在使用以上符号的时候先要弄清楚是元素与集合还是集合与集合之间的关系．比如表示元素与集合之间的关系有：1∈N，－1∉N,1∈{1},0∈{0}等，但不能写成0＝{0}或0⊆{0}；表示集合与集合之间的关系有：N⊆R，{1,2,3}⊆{1,2,3}，{1,2,3}{1,2,3,4}等．(2)集合与集合的关系有包含关系、相等关系．其中包含关系有：包含于(⊆)、包含(⊇)、真包含于()、真包含()等．用这些符号时要注意方向，如A⊆B与B⊇A是相同的，但A⊆B与B⊆A是不同的．(3)集合间的基本关系与实数间的关系比较：研究对象关系及符号比较集合关系包含于(被包含)真包含于包含真包含等于不包含于符号⊆⊇＝实数关系小于等于小于大于等于大于等于不等于符号≤≥＝≠通过比较，相信我们能较好地理解元素与集合之间，集合与集合之间的关系，并能够找到很好的学习和记忆本节知识的方法——类比法！深入学习题型一判定集合间的关系【例1】判断下列关系是否正确．(1){a}⊆{a}；(2){1,2,3}＝{3,2,1}；(3)Ø{0}；(4)0∈{0}；(5)Ø∈{0}；(6)Ø＝{0}；(7)Ø{0,1,2}；(8){1}{x|x≤5}．解：(1)任何一个集合是它本身的子集，因此，{a}⊆{a}，正确；(2)两个集合中的元素相同，故用“＝”号，正确；(3)空集是任何非空集合的真子集，正确；(4){0}中只有一个元素0,0∈{0}，正确；(5)Ø与{0}是两个集合，不能用∈连接；(6)Ø中没有任何元素，而{0}中有一个元素，二者不相等；(7)空集是任何非空集合的真子集，正确；(8)∵15，∴1∈{x|x≤5}．∴{1}{x|x≤5}，正确．由以上分析可知：(1)(2)(3)(4)(7)(8)正确，(5)(6)错误．变式训练1已知X＝{x|x＝n2＋1，n∈N＋}，Y＝{y|y＝k2－4k＋5，k∈N＋}，试判断集合X与Y的关系，并给出证明．解：集合X中，x＝2,5,10,17，…，集合Y中，y＝(k－2)2＋1＝2,1,2,5,10,17，…，可得XY.证明如下：对于任意的元素x∈X，有x＝n2＋1＝(n2＋4n＋4)－4(n＋2)＋5＝(n＋2)2－4(n＋2)＋5.由n∈N＋，知n＋2∈N＋，∴x具有y＝k2－4k＋5，k∈N＋的形式．∴x⊆Y.又k＝2时，y＝1，∴1∈Y.而1∉X，从而XY.题型二子集关系的应用【例2】满足条件{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M的个数是()A．3B．6C．7D．9分析：根据已知条件确定M中元素的组成情况，进而求解．答案：C解法一：由已知得集合M必含有元素1和2，且至少有一个不同于1和2的元素，故符合条件的集合M为{1,2,3}、{1,2,4}、{1,2,5}、{1,2,3,4}、{1,2,3,5}、{1,2,4,5}、{1,2,3,4,5}共7个，故选C.解法二：由已知得集合M必含有元素1和2，且至少有一个不同于1和2且等于3，或4，或5的元素，所以集合M的个数为集合{3,4,5}的非空子集的个数，即23－1＝7，故选C.评析：本题是利用真子集和子集的定义解题，可根据元素个数由少到多来分类处理．变式训练2已知集合A＝{x|x2或x－1}，B＝{x|axa＋1}，若B⊆A，求实数a的取值范围．解：将集合A中的元素，即适合x2或x－1的实数在数轴上表示出来．如下图①②.∵B⊆A，∴a≥2或a＋1≤－1.解得a≥2或a≤－2.即所求a的取值范围为a≥2或a≤－2.题型三集合相等关系的应用【例3】已知三元素集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求x与y的值．分析：依据“相等”的定义和集合中元素的互异性，构造x、y的方程．解：∵0∈B，A＝B，∴0∈A.∵集合A为三元素集，∴x≠xy.∴x≠0.又∵0∈B，y∈B，∴y≠0.从而x－y＝0，x＝y.这时，A＝{x，x2,0}，B＝{0，|x|，x}，∴x2＝|x|.解得x＝0(舍去)或x＝1(舍去)或x＝－1.经验证：x＝－1，y＝－1是本题的解．变式训练3已知M＝{a，a＋d，a＋2d}，N＝{a，aq，aq2}(a≠0)，且M＝N，求q的值．由a＋d＝aq2a＋2d＝aq得d＝aq－aq2，代入a＋d＝aq2得a＋aq－aq2＝aq2.∴a(q－2q2＋1)＝0.∵a≠0，∴q－2q2＋1＝0.∴q＝1(舍去)或q＝－12.综上知q＝－12.整体探究解读题型一判定集合的个数【例1】满足{a}⊆M{a，b，c，d}的集合M共有()A．6个B．7个C．8个D．15个分析：用子集及真子集的概念来解决．解：∵{a}⊆M，∴M中至少含有一个元素a.又∵M{a，b，c，d}，∴M中至多含有三个元素．由此可知满足条件的集合M有：{a}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}共7个．故选B.答案：B题型二集合关系的判断【例2】(一题多解)设集合M＝x|x＝k2＋14，k∈Z，N＝x|x＝k4＋12，k∈Z，则()A．M＝NB．MNC．MND．M∩N＝Ø答案：B解法一：可利用特殊值法，令k＝－2，－1,0,1,2，可得M＝…，－34，－14，14，34，54，…，N＝…，0，14，12，34，1，…，∴MN.故选B.解法二：集合M的元素：x＝k2＋14＝2k＋14(k∈Z)，集合N的元素：x＝k4＋12＝k＋24(k∈Z)，而2k＋1为奇数，k＋2为整数，因此MN.故选B.评析：当判定用特征性质描述法表示的两个集合关系时，一是可用赋值法，二是从两集合元素的特征性质p(x)入手，通过整理化简，看是否是一类元素．题型三利用集合之间的关系求参数范围【例3】设A＝{x|－2≤x≤a，a≥－2}，B＝{y|y＝2x＋3，x∈A}，C＝{z|z＝x2，x∈A}，且C⊆B，求实数a的取值范围．分析：B与C分别是函数y＝2x＋3，x∈A及z＝x2，x∈A的值域，且两个函数定义域均为A，可借助函数图象分析得a，需以2为界分两部分进行讨论．解：∵A＝{x|－2≤x≤a，a≥－2}，∴B＝{y|y＝2x＋3，x∈A}＝{y|－1≤y≤2a＋3}．(1)当a≥2时，C＝{z|0≤z≤a2}，∵C⊆B，∴a2≤2a＋3，解得2≤a≤3.(2)当－2≤a2时，C＝{z|0≤z≤4}．∵C⊆B，∴4≤2a＋3，解得≤a2.综合(1)(2)得≤a≤3.评析：集合与不等式的关系问题主要分两类：(1)不含参数的一般可直接求解；(2)含参数问题，往往要等价转换集合的表示或化简集合，然后依据数形结合进行分类讨论．【例4】(1)设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B⊆A，求实数a组成的集合；(2)设A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．分析：以上两题，虽然一个是等式，一个是不等式，但殊途同归，解题方法一样．由于B可能为空集，且B＝Ø时，仍然有B⊆A成立，因此，都要分B＝Ø，B≠Ø两种情况讨论．解：(1)∵x2－8x＋15＝0，∴x＝3，或x＝5.∴A＝{3,5}．∵B⊆A，∴①B＝Ø时，a＝0.②B≠Ø时，由B⊆A知，3∈B或5∈B.将x＝3，或x＝5代入ax－1＝0，得a＝13，或15.由①、②可知，由a组成的集合为{0，13，15}．(2)当B≠Ø时，如下图，由B⊆A得解得2≤m≤3.当B＝Ø时，m＋12m－1，解得m2.由以上可得m≤3.评析：(1)①B⊆A说明集合B的任何一个元素都属于A.②集合B可能为Ø，这一点在解题时常常容易忽视，从而致错．在解题时要特别注意这个“陷阱”．(2)①画数轴解决不等式问题，形象直观，提高了正确率和解题速度．②本题能够加深对空集的理解．空集是不含任何元素的集合．本题中的集合B在什么条件下是空集呢？当且仅当不等式m＋1≤x≤2m－1不成立时，B＝Ø，这个不等式何时不成立？当且仅当m＋12m－1时，不成立．③当B≠Ø时，2≤m≤3；当B＝Ø时，m2.怎么最终结果变成了m≤3？这是因为2≤m≤3时和m2时，都有B⊆A.将这两个不等式标在数轴上，如下图，可以发现，这两部分连接成一体了，因此，只要写出m≤3就可以．④在集合问题中，常常需要分类讨论，当A⊆B时，A可以是Ø，但常常由于解题时忽略这一点而致错．题型四子集综合问题【例5】一特警小组共有5人，上级要求组长至少带一名特警队员去执行一项特殊任务．问有多少种不同的分组方案？分析：可把这一特警小组的5名队员看做一个集合．解：设特警小组组长为a，其他四名特警队员分别为b，c，d，e.组成含组长a去执行任务的集合为A，则满足{a}A⊆{a，b，c，d，e}．则A为{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，c，d}，{a，c，e}，{a，d，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}，{a，c，d，e}，{a，b，c，d，e}．共计15种不同的分组方案．【例6】同时满足：①M⊆{1,2,3,4,5}，②若a∈M，则6－a∈M的非空集合M有多少个？写出这些集合．解：由题意知，a∈M,6－a∈M，且M⊆{1,2,3,4,5}，故以M中元素的个数进行分类．①M中含1个元素时，若3∈M，则6－3∈M，∴M＝{3}；②M中含2个元素时，M为{1,5}，{2,4}；③M中含3个元素时，M为{1,3,5}，{2,3,4}；④M中含4个元素时，M为{1,2,4,5}；⑤M中含5个元素时，M为{1,2,3,4,5}．因此满足条件的集合共有7个，即{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．评析：正确理解条件若a∈M，则6－a∈M的含义，也就是说元素1与5,2与4,3分别成对出现，转化为三个元素的非空子集，由2n－1可得共23－1＝7(个)．