2019年河南省濮阳市高考数学一模试卷(理科)

第1页（共19页）2019年河南省濮阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中,，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则M∩N＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}2．（5分）设i是虚数单位，若复数a−174−𝑖（a∈R）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣4B．﹣1C．4D．13．（5分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是84，乙班学生成绩的中位数是85．则x+2y的值为（）A．10B．12C．13D．154．（5分）若Sn是等比数列{an}的前项和，S3，S9，S6成等差数列，且a8＝2，则a2+a5＝（）A．﹣12B．﹣4C．4D．125．（5分）如图是一个多面体三视图，它们都是斜边长为√2的等腰Rt△，则这个多面体最长一条棱长为（）A．√2B．√3C．2√3D．3√26．（5分）已知f（x）＝alnx+12x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）第2页（共19页）7．（5分）如图，在△ABC中，BC＝4，若在边AC上存在点D，使BD＝CD成立，则𝐵𝐷→⋅𝐵𝐶→=（）A．﹣12B．12C．﹣8D．88．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）上横坐标为6的点到焦点的距离等于8，则焦点到准线的距离是（）A．6B．2C．8D．49．（5分）如图，圆O：x2+y2＝π2内的正弦曲线y＝sinx与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是（）A．4𝜋2B．4𝜋3C．2𝜋2D．2𝜋310．（5分）双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2，若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率是（）A．√5−1B．3+√52C．√5+12D．√3+111．（5分）已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是（）第3页（共19页）A．74πB．2πC．94πD．3π12．（5分）定义在（0，+∞）上的函数（x）满足xf′（x）+1＞0，f（2）＝﹣ln2，则不等式f（ex）+x＞0的解集为（）A．（0，2ln2）B．（0，ln2）C．（ln2，+∞）D．（ln2，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知实数x，y满足约束条件{𝑥+𝑦≤4𝑥≤2𝑦𝑥≥1，若z＝x﹣3y+1，则实数z的最大值是．14．（5分）{an}是公差不为0的等差数列，满足a42+a52＝a62+a72，则该数列的前10项和S10＝．15．（5分）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有种．16．（5分）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若12𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑠𝑖𝑛𝐵，且𝑎=2√3，b+c＝6，则△ABC面积为．三、解答题：本大题共70分。解答题应写岀文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）在数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝0，a3＝2，𝑏𝑛=2𝑎𝑛+1(𝑛∈𝑁∗)．（Ⅰ）求数列{bn}及{an}的通项公式；（Ⅱ）若cn＝an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P为BC边的中点，SB与平面ABCD所成的角为45°，且AD＝2，SA＝1．（Ⅰ）求证：PD⊥平面SAP；（Ⅱ）求二面角A﹣SD﹣P的余弦的大小．第4页（共19页）19．（12分）四川省阆中中学某部根据运动场地的影响，但为尽大可能让学生都参与到运动会中来，在2018春季运动会中设置了五个项目，其中属于跑步类的两项，分别是200米和400米，另外三项分别为跳绳、跳远、跳高．学校要求每位学生必须参加，且只参加其中一项，学校780名同学参加各运动项目人数统计如下条形图：其中参加跑步类的人数所占频率为713，为了了解学生身体健康与参加运动项目之间的关系，用分层抽样的方法从这780名学生中抽取13人进行分析．（Ⅰ）求条形图中m和n的值以及抽取的13人中参加200米的学生人数；（Ⅱ）现从抽取的参加400米和跳绳两个项目中随机抽取4人，记其中参加400米跑的学生人数为X，求离散型随机变量X的分布列与数学期望．20．（12分）已知椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线x+y﹣2＝0相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点，探究在x轴上是否存在定点E，使得𝐸𝐴→•𝐸𝐵→为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝alnx+xb（a≠0）．（Ⅰ）当b＝2时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a+b＝0，b＞0时，对任意x1，x2∈[1𝑒，e]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣2成立，求实数b的取值范围．请考生在第22题和第23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修44：坐标系与参数方程]22．（10分）极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的第5页（共19页）长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：{𝑥=12𝑡𝑦=1+√32𝑡(𝑡为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|，g（x）＝|x|+a（Ⅰ）当a＝0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．第6页（共19页）2019年河南省濮阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中,，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则M∩N＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【解答】解：集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴M∩N＝{0，1}．故选：B．2．（5分）设i是虚数单位，若复数a−174−𝑖（a∈R）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣4B．﹣1C．4D．1【解答】解：复数a−174−𝑖=a−17(4+𝑖)(4−𝑖)(4+𝑖)=a﹣（4+i）＝（a﹣4）﹣i是纯虚数，∴a﹣4＝0，解得a＝4．故选：C．3．（5分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是84，乙班学生成绩的中位数是85．则x+2y的值为（）A．10B．12C．13D．15【解答】解：甲班学生的平均分是84，即17×（92+96+80+80+x+85+75+78）＝84，解得x＝2，又乙班学生成绩的中位数是85，∴y＝5；∴x+2y＝2+10＝12．故选：B．第7页（共19页）4．（5分）若Sn是等比数列{an}的前项和，S3，S9，S6成等差数列，且a8＝2，则a2+a5＝（）A．﹣12B．﹣4C．4D．12【解答】解：由题意可得：等比数列{an}的q≠1，∵S3，S9，S6成等差数列，且a8＝2，∴2S9＝S6+S3，且a8＝2，∴2×𝑎1(𝑞9−1)𝑞−1=𝑎1(𝑞6−1)𝑞−1+𝑎1(𝑞3−1)𝑞−1，𝑎1𝑞7=2．解得：q3=−12，a1q＝8．则a2+a5＝a1q（1+q3）＝8×(1−12)=4．故选：C．5．（5分）如图是一个多面体三视图，它们都是斜边长为√2的等腰Rt△，则这个多面体最长一条棱长为（）A．√2B．√3C．2√3D．3√2【解答】解：根据三视图可知几何体是三棱锥，且PC⊥平面ABC，AB⊥AC，∵三视图都是斜边长为√2的等腰直角三角形，∴AB＝AC＝PC＝1，则PB是最长的棱，且PB=√2+1=√3，故选：B．6．（5分）已知f（x）＝alnx+12x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有第8页（共19页）𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）【解答】解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2＞2恒成立则当x＞0时，f'（x）≥2恒成立f'（x）=𝑎𝑥+x≥2在（0，+∞）上恒成立则a≥（2x﹣x2）max＝1故选：D．7．（5分）如图，在△ABC中，BC＝4，若在边AC上存在点D，使BD＝CD成立，则𝐵𝐷→⋅𝐵𝐶→=（）A．﹣12B．12C．﹣8D．8【解答】解：取BC中点E，连接DE，∵BD＝CD，∴DE⊥BC，∴𝐵𝐷→⋅𝐵𝐶→=𝐵𝐶→⋅𝐵𝐸→=12𝐵𝐶→2＝8，故选：D．8．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）上横坐标为6的点到焦点的距离等于8，则焦点到准线第9页（共19页）的距离是（）A．6B．2C．8D．4【解答】解：由题意可得抛物线y2＝2px（p＞0）开口向右，焦点坐标（𝑝2，0），准线方程x=−𝑝2，由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为6的点到准线的距离等于8，即6﹣（−𝑝2）＝8，解之可得p＝4故焦点到准线的距离为𝑝2−(−𝑝2)=p＝4故选：D．9．（5分）如图，圆O：x2+y2＝π2内的正弦曲线y＝sinx与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是（）A．4𝜋2B．4𝜋3C．2𝜋2D．2𝜋3【解答】解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3正弦曲线y＝sinx与x轴围成的区域记为M，根据图形的对称性得：面积为S＝2∫0πsinxdx＝﹣2cosx|0π＝4，由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P=4𝜋3故选：B．10．（5分）双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2，若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率是（）A．√5−1B．3+√52C．√5+12D．√3+1【解答】解：由题意可得A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，﹣b），F1（﹣c，0），F2（c，0），第10页（共19页）且a2+b2＝c2，菱形F1B1F2B2的边长为√𝑏2+𝑐2，由以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．由面积相等，可得12•2b•2c=12a•4√𝑏2+𝑐2，即为b2c2＝a2（b2+c2），即有c4+a4﹣3a2c2＝0，由e=𝑐𝑎，可得e4﹣3e2+1＝0，解得e2=3±√52，可得e=1+√52，或e=√5−12（舍去）．故选：C．11．（5分）已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平