高中数学课件第三节 三角函数图像与性质

备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第三节三角函数图像与性质第三节三角函数图像与性质备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第三节三角函数图像与性质正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k∈Z).奇函数奇偶性π2π2π周期性R[－1,1][－1,1]值域RR定义域图像y＝tanxy＝cosxy＝sinx函数{x|x∈R，且x≠kπ＋π2，k∈Z}偶函数奇函数备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第三节三角函数图像与性质单调性y＝tanxy＝cosxy＝sinx函数2kπ－π2，2kπ＋π2为增；2kπ＋π2，2kπ＋3π2为减[2kπ，2kπ＋π]为减；[2kπ－π，2kπ]为增kπ－π2，kπ＋π2为增对称中心kπ＋π2，0kπ2，0(kπ，0)备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第三节三角函数图像与性质对称轴y＝tanxy＝cosxy＝sinx函数无x＝kπ＋π2x＝kπ1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k∈Z”这一条件．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第三节三角函数图像与性质[试一试]1．函数y＝tanπ4－x的定义域是________．答案：xx≠kπ＋3π4，k∈Z，x∈R2．(2013·南京三模)函数y＝sinx－π4≤x≤3π4的值域是_____．解析：因为－π4≤x≤3π4，由y＝sinx的图像知－22≤sinx≤1，故函数y的值域为－22，1.答案：－22，1备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第三节三角函数图像与性质1．三角函数单调区间的求法(1)y＝sin2x－π4；(2)y＝sinπ4－2x.先把函数式化成形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考虑．注意区分下列两题的单调增区间的不同：备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第三节三角函数图像与性质2．求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，通过分析ωx＋φ的范围，结合图像写出函数的值域；(2)换元法：把sinx(cosx)看作一个整体，化为二次函数来解决．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第三节三角函数图像与性质[练一练]1．函数y＝|sinx|的一个单调增区间是________．解析：作出函数y＝|sinx|的图像观察可知，函数y＝|sinx|在π，3π2上递增．答案：π，3π2备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第三节三角函数图像与性质2．(2013·天津高考)函数f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的最小值为________．解析：由已知x∈0，π2，得2x－π4∈－π4，3π4，所以sin2x－π4∈－22，1，故函数f(x)＝sin2x－π4在区间0，π4上的最小值为－22.答案：－22备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第三节三角函数图像与性质1.函数f(x)＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域为________．解析：当x∈0，π2时，2x－π6∈－π6，5π6，sin2x－π6∈－12，1，故3sin2x－π6∈－32，3，即此时函数f(x)的值域是－32，3.答案：－32，3备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第三节三角函数图像与性质2．(2014·湛江调研)函数y＝lg(sinx)＋cosx－12的定义域为________．解析：要使函数有意义必须有sinx0，cosx－12≥0，即sinx0，cosx≥12，解得2kπxπ＋2kπ，－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ(k∈Z)，备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第三节三角函数图像与性质∴2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z，∴函数的定义域为x2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z.答案：x2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第三节三角函数图像与性质3．(1)函数y＝2cos2x＋5sinx－4的值域为________．(2)当x∈π6，7π6时，函数y＝3－sinx－2cos2x的最小值是________，最大值是________．解析：(1)y＝2cos2x＋5sinx－4＝2(1－sin2x)＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2＝－2(sinx－54)2＋98.故当sinx＝1时，ymax＝1，当sinx＝－1时，ymin＝－9，备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第三节三角函数图像与性质故y＝2cos2x＋5sinx－4的值域为[－9,1]．(2)∵x∈π6，7π6，∴sinx∈－12，1.又y＝3－sinx－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝2sinx－142＋78.∴当sinx＝14时，ymin＝78，当sinx＝－12或sinx＝1时，ymax＝2.答案：(1)[－9,1](2)782备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第三节三角函数图像与性质[类题通法]1．三角函数定义域的求法2．三角函数值域的不同求法(2)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；(3)把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域；(4)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域．(1)利用sinx和cosx的值域直接求；求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第三节三角函数图像与性质[典例]求下列函数的单调递减区间：[解](1)由2kπ＋π2≤x－π4≤2kπ＋3π2，k∈Z，得2kπ＋3π4≤x≤2kπ＋7π4，k∈Z.故函数y＝2sinx－π4的单调减区间为2kπ＋3π4，2kπ＋7π4(k∈Z)．(1)y＝2sinx－π4；(2)y＝tanπ3－2x.备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第三节三角函数图像与性质(2)把函数y＝tanπ3－2x变为y＝－tan2x－π3.由kπ－π22x－π3kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π62xkπ＋5π6，k∈Z，即kπ2－π12xkπ2＋5π12，k∈Z.故函数y＝tanπ3－2x的单调减区间为kπ2－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第三节三角函数图像与性质若将本例(1)改为“y＝2sinx－π4”，如何求解？解：画出函数y＝2sinx－π4的图像，易知其单调递减区间为kπ＋3π4，kπ＋5π4(k∈Z)．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第三节三角函数图像与性质三角函数的单调区间的求法[类题通法](1)代换法：所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数整理后的整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间．(2)图像法：函数的单调性表现在图像上是：从左到右，图像上升趋势的区间为单调递增区间，图像下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图像，结合图像易求它的单调区间．提醒：求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第三节三角函数图像与性质[针对训练]1．(2013·盐城二模)函数f(x)＝2sinx－π4，x∈[－π，0]的单调增区间为________．解析：当x－π4∈2kπ－π2，2kπ＋π2，k∈Z时，是f(x)的单调增区间．又因为x∈[－π，0]，故取k＝0得x∈－π4，0答案：－π4，0备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第三节三角函数图像与性质2．(2013·苏北四市联考)若函数f(x)＝2sinωx(ω0)在－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为______．解析：依题意可知12×T≥2×2π3，即12×2πω≥2×2π3，解得ω≤34，从而ω的最大值为34.答案：34备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第三节三角函数图像与性质正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形.正切函数的图像只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一.归纳起来常见的命题角度有：1求三角函数的对称轴或对称中心；2由三角函数的对称性求参数值；3三角函数对称性的应用.备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第三节三角函数图像与性质角度一求三角函数的对称轴或对称中心1．(2013·扬州期末)已知函数f(x)＝－2sin2x＋23sinx·cosx＋1.(1)求f(x)的最小正周期及对称中心；(2)当x∈－π6，π3时，求f(x)的最大值和最小值．解：(1)f(x)＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6，所以f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.令sin2x＋π6＝0，得x＝kπ2－π12(k∈Z)，所以f(x)的对称中心为kπ2－π12，0(k∈Z)．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第三节三角函数图像与性质(2)因为x∈－π6，π3，所以－π6≤2x＋π6≤5π6，所以－12≤sin2x＋π6≤1，所以－1≤f(x)≤2.所以当x＝－π6时，f(x)的最小值为－1；当x＝π6时，f(x)的最大值为2.备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第三节三角函数图像与性质角度二由三角函数的对称性求参数值2．