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第13章三角形中的边角关系、命题与证明（总复习）1．三角形的概念①三角形有三条边，三个内角，三个顶点.②组成三角形的线段叫做三角形的边;③相邻两边所组成的角叫做三角形内角，简称角;④相邻两边的公共端点是三角形的顶点，⑤三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示.不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形．1．三角形的概念不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形．注意：1:三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；2:三角形是一个封闭的图形；3:△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义2．三角形的三边关系注意：1：三边关系的依据是：两点之间线段是短2:判断三条线段能否构成三角形的方法：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形.3:三角形第三边的取值范围是:两边之差第三边两边之和三角形的任意两边之和大于第三边;三角形的任意两边之差小于第三边.3．三角形的高、中线、角平分线、注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部；直角三角形有两条高是直角边，另一条在内部；钝角三角形有两条高在三角形外，另一条在内部。③三角形三条高所在直线交于一点．(1)三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．表示法：①AD是△ABC的BC上的高线.②AD⊥BC于D.③∠ADB=∠ADC=90°.DABC注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部；③三角形三条中线交于三角形内部一点；④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．(2)三角形中线：连结一个顶点和它对边中点的线段．表示法：①AD是△ABC的BC上的中线.②BD=DC=½BC.DABC3．三角形的高、中线、角平分线、注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；(3)三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段。表示法：①AD是△ABC的∠BAC的平分线.②∠1=∠2=½∠BAC.DABC123．三角形的高、中线、角平分线、4．三角形的分类：三不等边三角形角形腰与底不相等的等腰三角形等腰三角形腰与底相等的等边三角形直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形1：按边分类2：按角分类5．对“定义”的理解：能明确界定某个对象含义的语句叫做定义.注意：明确界定某个对象有两种形式：①揭示对象的特征性质；例如：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．②明确对象的范围。例如：整数和分数统称为有理数6．有关“命题”的概念注意：①命题有真命题和假命题两种，对某一事件作出正确或不正确判断的语句叫做命题。②命题由题设和结论两部分组成的.前一部分，也称之为条件，后一部分称之为结论。③命题通常是用“如果······,那么······.”的形式给出.④“如果p,那么q.”中的题设与结论互换，得一个新命题：“如果q,那么p.”这两个命题称为互逆命题.其中一个命题叫原命题，另一个命题叫做逆命题.⑤当一个命题是真命题时它的逆命题不一定是真命题.⑥符合命题的题设，但不满足命题的结论的例子，称之为反例.要说明一个命题是假命题，只要举一个反例即可.7．有关“公理、定理、证明、推论、演绎推理、辅助线”等概念（2）定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并被选作判断命题真假的依据的真命题（1）公理：从长期实践中总结出来的，不需要再作证明的真命题。（4）演绎推理：从已知条件出发，依据定义、公理、定理，并按照逻辑规则，推导出结论的方法。（5）证明：演绎推理的过程就是演绎证明，简称“证明”。（3）推论：由公理、定理直接得出的真命题。（6）辅助线：为了证明的需要，在原来的图形上添画的线段或直线。8．三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．(2)从剪拼可以看出：∠A+∠B+∠C=180º（1）从折叠可以看出：∠A+∠B+∠C=180º(3)由推理证明可知：∠A+∠B+∠C=180º证明三角形内角和定理的方法添加辅助线思路：1、构造平角21EDCBA图1ABC图2DE12EDFABC图312添加辅助线思路:2、构造同旁内角EABC图1EDF1234ABC图29．三角形的外角三角形的外角的定义:三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.三角形的外角与内角的关系：2:三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和；1:三角形的一个外角与它相邻的内角互补；3:三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。4:三角形的外角和为360°。考点一：数三角形的个数例1图中三角形的个数是（）A．8B．9C．10D．11B考点二：三角形三边关系例2：已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是()A．1，2，3B．2，5，8C．3，4，5D．4，5，10例3：下列各组条件中，不能组成三角形的是()A.a+1、a+2、a+3(a3)B.3cm、8cm、10cmC.三条线段之比为1:2:3D.3a、5a、2a+1(a1)CC考点二：三角形三边关系例3．△ABC的三边长分别为4、9、x,⑴求x的取值范围；⑵求△ABC周长的取值范围；⑶当x为偶数时，求x；⑷当△ABC的周长为偶数时，求x；⑸若△ABC为等腰三角形，求x．考点三：三角形的三线例4：下列说法错误的是（）A:三角形的三条中线都在三角形内。B:直角三角形的高线只有一条。C:三角形的三条角平分线都在三角形内。D:钝角三角形内只有一条高线。例5：在三条边都不相等的三角形中，同一条边上的中线，高和这边所对角的角平分线，最短的是（）A:中线。B:高线。C:角平分线。D:不能确定。BB考点四：三角形内角和定理：1314解：设∠B=xº，则∠A=3xº，∠C=4xº，从而:x+3x+4x=180º，解得x=22.5º．即：∠B=22.5º，∠A=67.5º，∠C=90º．例3△ABC中，∠B=∠A=∠C，求△ABC的三个内角度数.例4如图，点O是△ABC内一点，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，则∠BOC等于（）A.95°B.120°C.135°D.65012图1BCAO分析与解：∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（180°-（∠1+∠2+∠A）=∠1+∠2+∠A=135°．考点四：三角形内角和定理：1.在△ABC中，三边长a,b,c都是整数，且满足abc,a=8,那么满足条件的三角形共有多少个？a888b567c45,4,37,6,5,4,32.如图，在△ABC中，∠BAC=4∠ABC=4∠C，BD⊥AC于点D，求∠ABD的度数。答案∠ABD=30°3.如图，草原上有四口油井，位于四边形ABCD的四个顶点上，现在要建立一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到四口油井的距离之和HA+HB+HC+HD最小，说明理由.4.如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E，若∠1=64°，则∠2=.5.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6B．7C．8D．96.已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求证：∠P=90°．7.如图1，(1)求证：∠BOC=∠A+∠B+∠C．(2)如图2，∠ABC=100°，∠DEF=130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．9.已知如图所示,在△ABC中,DE//BC,F是AB上的一点,FE的延长线交BC的延长线于点G,求证∠EGH∠ADE.8.如图，已知，直线AB∥CD，证明：∠A+∠C=∠AEC.