直线的方向向量与直线的向量方程

3.23.2.1直线的方向向量与直线的向量方程理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二第三章空间向量与立体几何考点三知识点一知识点二考点四知识点三返回返回3．2.1直线的方向向量与直线的向量方程返回返回给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量AP＝ta.问题1：当t确定时，点P的位置是否被确定？提示：确定．问题2：在AP＝ta式中，当t取遍全体实数时，点P的运动轨迹是什么？提示：过点A且平行于向量a的一条直线．返回用向量表示直线或点在直线上的位置(1)给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量＝ta①，这时点P的位置被t的值完全确定．当t在实数集R中取遍所有值时，点P的轨迹是通过点A且平行于的一条直线l，反之，在l上任取一点P，一定存在一个实数t，使，则向量方程①通常称作直线l以的参数方程．称为该直线的方向向量．向量at为参数向量aAP＝taAP返回(2)对空间任一确定的点O，点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t，满足等式OP＝．②如果在l上取AB＝a，则②式可化为OP＝．③①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程，它们都与平面的直线向量参数方程相同.OA＋ta＋tOB(1－t)OA返回若直线l1的方向向量为v1，直线l2的方向向量为v2，且v1∥α，v2∥α.问题1：若v1∥v2，则l1与l2有什么关系？提示：平行或重合．问题2：若直线l的方向向量v与v1，v2共面，且v1、v2不共线，则直线l与平面α平行吗？提示：不一定，l可能在α内．问题3：若平面β∥α，则v1，v2与β什么关系？提示：v1∥β，v2∥β.返回用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2或l1与l2重合．(2)已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则l∥α或l在α内存在两个实数x，y，使．(3)如果A，B，C三点不共线，则点M在平面ABC内的充分必要条件是，存在一对实数x，y，使向量表达式AM＝成立．(4)已知两个不共线的向量v1，v2与平面α共面，则α∥β或α与β重合.v1∥v2v1∥β且v2∥βv＝xv1＋yv2xAB＋yAC返回问题1：两条直线垂直，对应的方向向量垂直吗？提示：垂直．问题2：两条直线所成的角θ与两直线的方向向量的夹角α之间有什么关系？提示：相等或互补．返回用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设直线l1和l2所成的角为θ，方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔，cosθ＝．v1⊥v2|cos〈v1，v2〉|返回1．直线的方向向量不是唯一的，可以分为同向和反向两类．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．2．若直线l1，l2的方向向量平行，则包括l1与l2平行和l1与l2重合两种情况．3．求异面直线所成的角时要注意范围．返回返回[例1]已知O是坐标原点，A、B、C三点的坐标分别为A(3，4，0)、B(2，5，5)、C(0，3，5)．(1)若OP＝12(AB－AC)，求P点的坐标；(2)若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求P点的坐标．返回[思路点拨](1)由条件先求出AB，AC的坐标，再利用向量的运算求P点的坐标．(2)先把条件AP∶PB＝1∶2转化为向量关系，再运算．返回[精解详析](1)AB＝(－1，1，5)，AC＝(－3，－1，5)．OP＝12(AB－AC)＝12(2，2，0)＝(1，1，0)．∴P点的坐标为(1，1，0)．(2)由P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，知AP＝12PB.设点P的坐标为(x，y，z)，则AP＝(x－3，y－4，z)，PB＝(2－x，5－y，5－z)，返回故(x－3，y－4，z)＝12(2－x，5－y，5－z)，即x－3＝12（2－x）y－4＝12（5－y），z＝12（5－z）得x＝83y＝133.z＝53因此P点的坐标为(83，133，53)．返回[一点通]此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出要求点的坐标，利用已知条件得关于要求点坐标的方程或方程组求解即可．返回1．已知O为坐标原点，四面体OABC中，A(0，3，5)，B(1，2，0)，C(0，5，0)，直线AD∥BC，并且AD交坐标平面xOz于点D，求点D的坐标．解：∵D∈平面xOz，∴设D(x，0，z)，则AD＝(x，－3，z－5)，BC＝(－1，3，0)．∵AD∥BC，∴AD＝λBC.∴(x，－3，z－5)＝λ(－1，3，0)．∴x＝－λ，－3＝3λ，z－5＝0，即λ＝－1，x＝1，z＝5.∴D的坐标为(1，0，5)．返回2．已知点A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点，且AC＝13AB，求C点的坐标．解：设C(x，y，z)，则AC＝(x－4，y－1，z－3)．又AB＝(－2，－6，－2)．由题意AC＝13AB，∴(x－4，y－1，z－3)＝13(－2，－6，－2)，则x＝103，y＝－1，z＝73.所以C点坐标为(103，－1，73)．返回[例2]已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.[思路点拨]利用直线的方向向量以及线面平行，面面平行的条件证明．返回[精解详析]如图所示建立空间直角坐标系Dxyz，则有D(0，0，0)、A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，所以1FC＝(0，2，1)，1FB＝(2，2，1)，AD＝(－2，0，0)，AE＝(0，2，1)．(1)∵1FC＝AE，且FC1在平面ADE外，返回∴FC1∥平面ADE.(2)设1FB＝mAD＋nAE，则(2，2，1)＝m(－2，0，0)＋n(0，2，1)，∴m＝－1，n＝1，即1FB＝－AD＋AE.又∵FB1在平面ADE外，∴FB1∥平面ADE.由(1)知FC1∥平面ADE，且FB1∩FC1＝F，∴平面ADE∥平面B1C1F.返回[一点通](1)证两条直线平行可转化为证明两直线的方向向量平行．(2)用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内．(3)利用向量证明面面平行，可转化为证明线面平行．返回3．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P、Q、R、S分别是AA1、D1C1、AB、CC1的中点．证明：PQ∥RS.证明：法一：以D为原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则P(3，0，1)、Q(0，2，2)、R(3，2，0)、S(0，4，1)，PQ＝(－3，2，1)，RS＝(－3，2，1)，∴PQ＝RS，∴PQ∥RS，∴PQ∥RS.返回法二：RS＝RC＋CS＝12DC－DA＋121DD，PQ＝1PA＋1AQ＝121DD＋12DC－DA，∴RS＝PQ，∴RS∥PQ，∴RS∥PQ.返回4.如右图中，△ABC是正三角形，AA1綊BB1綊CC1，D为AC的中点，求证：AB1∥平面C1BD.证明：记AB＝a，AC＝b，1AA＝c，则1AB＝a＋c，DB＝AB－AD＝a－12b，1DC＝DC＋1CC＝12b＋c.∴DB＋1DC＝a＋c＝1AB.∴1AB、DB、1DC共面．∵B1平面C1BD，∴AB1∥平面C1BD.返回5.如右图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的中点．求证：平面EFG∥平面AB1C.返回证明：设AB＝a，AD＝b，1AA＝c，则EG＝1ED＋1DG＝1211AD＋1211DC＝12b＋12a.而AC＝AB＋AD＝a＋b，∴AC＝2EG，故AC∥EG，又CEG，∴EG∥AC.又EF＝1ED＋1DF＝1211AD＋121DD＝12b－12c，而1BC＝11BC＋1CC＝b－c＝2EF，∴EF∥1BC，又EB1C，∴EF∥B1C.又∵EG∩EF＝E，AC∩B1C＝C，∴平面EFG∥平面AB1C.返回[例3]在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E、F分别是AB、BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.[思路点拨]返回[精解详析]以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a，0，a)，C1(0，a，a)．设AE＝BF＝x，则E(a，x，0)，F(a－x，a，0)．∴1AF＝(－x，a，－a)，1CE＝(a，x－a，－a)．∵1AF·1CE＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，∴1AF⊥1CE，即A1F⊥C1E.返回[一点通]利用向量法证明线线垂直往往转化为证明直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为0.证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标进而求直线的方向向量．返回6．正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AC的中点，证明：(1)BD1⊥AC，(2)BD1⊥EB1.返回证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则B(1，1，0)、D1(0，0，1)、A(1，0，0)、C(0，1，0)、E(12，12，0)、B1(1，1，1)．返回(1)1BD＝(－1，－1，1)，AC＝(－1，1，0)，∴1BD·AC＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0，∴1BD⊥AC，∴BD1⊥AC.(2)1BD＝(－1，－1，1)，1EB＝(12，12，1)，∴1BD·1EB＝(－1)×12＋(－1)×12＋1×1＝0，∴1BD⊥1EB，∴BD1⊥EB1.返回[例4]如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，面ABCD与面D1C1CD垂直，且∠D1DC＝π3，DC＝DD1＝2，DA＝3，∠ADC＝π2，求异面直线A1C与AD1所成角的余弦值．返回[思路点拨]先建立空间直角坐标系，求出A1C与AD1的方向向量．再求出方向向量的夹角的余弦值，最后转化为异面直线A1C与AD1所成的角．返回[精解详析]建立如图所示的空间直角坐标系，返回则A(3，0，0)，D1(0，1，3)，C(0，2，0)，D(0，0，0)由1AA＝1DD得A1(3，1，3)．∵1AC＝DC－1DA＝(－3，1，－3)，1DA＝DA－1DD＝(3，－1，－3)，∴cos〈1AC，1DA〉＝1111·.||||ACDAACDA＝（－3，1，－3）·（3，－1，－3）7·7＝－17.∴异面直线A1C与AD1所成角的余弦值为17.返回[一点通]利用向量求异面直线所成角的步骤为：(1)确定空间两条直线的方向向量；(2)求两个向量夹角的余弦值；(3)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角．返回7.如图，在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝π4.OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．求异面直线AB与MD所成角的大小．解：作AP⊥CD于点P.如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(－22，22，0)，M(0，0，1)．返回设AB和MD所成角为θ，∵AB＝(1，0，0)，MD＝(－22，22，－1)，∴cosθ＝.||.||||ABMDABMD＝12.∴θ＝π3.∴异面直线AB与MD所成角的大小为π3.返回8．已知正四棱锥P－ABCD底面边长为a，高PO的长也为a，E，F分别是PD，PA的中点，求异面直线AE与BF所成角的余弦值．解：如下图，以O为原点，过O点平行于AB、BC的直线为x轴、y轴，PO为z轴建立空间直角坐标系．由已知得返回A(－a2，－a2，0)，B(a2，－a2，0)，