17.4.2反比例函数的图象和性质(市公开课)

17.4.2反比例函数的图象和性质反比例函数的定义一般地，形如的函数叫做反比例函数.其中k叫做比例系数.)0(kkxky是常数，反比例函数的变形形式：)0(1kxky)0(21kkxy)0(3kkxy画出反比例函数和的函数图象.y=x6y=x6描点法例X…-3-2-1123………X…-3-2-1123………⑴确定自变量x的取值范围.x≠0．⑵列表:在自变量x的取值范围内取有代表性的值列表⑶描点：⑷连线.6yx6yx123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556yxxy=x6y=x6123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xy123456-5-1-2-3-4-6………-1-663-32-21.5-1.51.2-1.21……y=x6…-1.5621.51.21-6-3-2-1.2-13y=x6反比例函数的图像是两条曲线，叫双曲线。原因：x≠0123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556yx123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xyy=x6y=x6注意：①连线应从左到右（原因：x的取值是连续的）②连线要平滑③两个象限内的点不能相连。（原因：x≠0）④每个象限内，两端应稍作延伸，（原因：x可无限小，无限大，还可无限接近于0）但不能与x轴、y轴相交（原因：x≠0,y≠0）yy为什么有的双曲线在一、三象限，而有的双曲线在二、四象限呢？K=60K=-60123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556x123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xy=x6y=x6123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556yx123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xyy=x6y=x6K=60K=-60反比例函数中，k决定什么？y=xkk的正负x、y的符号关系双曲线所在象限看出每条曲线的升降性每个象限函数的增减性。xy=x6123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xy123456-5-1-2-3-4-6………y=x6…-1.5621.51.21-6-3-2-1.2-131632-1-6-3-21、k＞0x、y同号双曲线在第一、三象限在第一象限内，曲线从左向右下降，y随x的增加而减少；在第三象限内，曲线从左向右下降，y随x的增加而减少；K=60123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556yxxy=x6123456-5-1-2-3-4-6……-1-663-32-21.5-1.51.2-1.21……y=x62、k＜0x、y异号双曲线在第二、四象限在第二象限内，曲线从左向右上升，y随x的增加而增加；在第四象限内，曲线从左向右上升，y随x的增加而增加；123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556yx123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xyy=x6y=x6为什么不能说：当k＞0时，y随x的增加而减少；当k＜0时，y随x的增加而增加？K=60K=-60对于反比例函数kyx123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556yx123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xyy=x6y=x6⑴双曲线上任一点（x,y）关于原点的对称点（-x,-y）在另一分支上.即:中心对称性--两个分支关于原点成中心对称．kyx双曲线：的对称性P(6,1)P(-1,6)/6,1P/1,6P⑵轴对称性---对称轴是各象限的角平分线所在直线y=x或y=-xxkykyx原因:∵（x,y）在图象上,∴∴∴（-x,-y）也在图象上.P(1,6)P(-6,1)y=xy=-xy=xy=-x123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556yx123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xyy=x6y=x6反比例函数中，k的几何意义y=xk6ABCOSOABC=ODEFSODEF=6GHISOGHI=6yx理由:设H(x,y),则xy=-6,HG=HI=(x,y)66OGHISHGHIyxxy矩形kk=双曲线上任一点作坐标轴的垂线段，所得矩形的面积.即:双曲线上任一点作坐标轴的垂线段，所得矩形的面积=kkk123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556yx123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xyy=x6y=x6反比例函数中，k的几何意义y=xk3ABCOS△OAB=ODEFGHI(x,y)k=双曲线上任一点作x轴（或y轴）的垂线段，连坐标原点，所得直角三角形的面积即:双曲线上任一点作x轴（或y轴）的垂线段，连坐标原点，所得直角三角形的面积=S△OBC=S△DEF=S△ODF=3S△OGH=S△OHI=312k12k12k12k12反比例函数的图象和性质123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556x123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xy=x6y=x61.k的正负决定什么?kyx2.双曲线：的对称性3.反比例函数中，的几何意义kyxk1.k的正负x、y的符号关系双曲线所在象限看出每条曲线的升降性每个象限函数的增减性。反比例函数的图象和性质kyxkyx2.双曲线：的对称性⑴双曲线上任一点（x,y）关于原点的对称点（-x,-y）在另一分支上.即:中心对称性--两个分支关于原点成中心对称．⑵轴对称性---对称轴是各象限的角平分线所在直线y=x或y=-x3.反比例函数中，k的几何意义kyxkk=双曲线上任一点作坐标轴的垂线段，所得矩形的面积.即:双曲线上任一点作坐标轴的垂线段，所得矩形的面积=k=双曲线上任一点作x轴（或y轴）的垂线段，连坐标原点，所得直角三角形的面积即:双曲线上任一点作x轴（或y轴）的垂线段，连坐标原点，所得直角三角形的面积=12k12函数正比例函数反比例函数解析式图象形状K0K0位置增减性位置增减性y=kx(k≠0)(k是常数,k≠0)y=xk直线双曲线y随x的增大而增大一三象限y随x的增大而减小二四象限y随x的增大而减小y随x的增大而增大填表分析正比例函数和反比例函数的区别一三象限二四象限反比例函数性质的应用kyxk12A：xyoB：xyoD：xyoC：xyo反比例函数y=-的图象大致是（）x5D1.函数的图象在第_____象限，在每个象限内，y随x的增大而_____.2.双曲线经过点（-3，___）y=x5y=13x3.函数的图象在二、四象限，则m的取值范围是____.4.对于函数，当x0时，y随x的增大而____，这部分图象在第________象限.5.反比例函数,在每一象限内y随x的增大而增大，则m=____.y=12xm-2xy=y=(2m+1)xm-22二,四减小m2三-1增大91xk1.已知k0,则函数y1=kx,y2=在同一坐标系中的图象大致是()xy0xy0xy0xy0(C)(D)(A)(B)D2.若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在反比例函数的图象上，则（）100yxA、y1y2y3B、y2y1y3C、y3y1y2D、y3y2y1y1-1-20y=x1002y2y3B2x2010.6如图,在反比例函数y=（x＞0）的图象上,有点P1、P2、P3、P4，,它们的横坐标依次为1,2,3,4,分别过这些点x轴与y轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3，,则S1+S2+S3=1.51yx，21yx，12yy、1yxx，0x1xyyx①②③1-2-12yxO2009乐山．已知正比例函数反比例函数由构造一个新函数其图象如图所示时，该函数在时取得最大值-2；的值不可能为1；随自变量的增大而增大．（请写出所有正确的命题的序号）②当③④在每个象限内，函数值其中正确的命题是（因其图象似双钩，我们称之为“双钩函数”）．给出下列几个命题：①该函数的图象是中心对称图形；1mx2007.6.28已知反比例函数y=的图象上有两点A（x1,y1）、B（x2,y2），当x1x20时,有，则m的取值范围为()A.m0B.m0C.m1D.m1k的正负性不确定的反比例函数问题分k0,k0两种情况讨论.CK0xyoK0xyokx2011.6.28在同一直角坐标系中,函数y=kx-k与y=（k≠0）的图象大致是（）BCDADK0xyoK0xyo已知点P（2，-3）满足反比例函数y=，则k=.xk求反比例函数y=kx㈠已知图象上的一个点（x、y的一对值）的解析式.-6-302kx乐山－2015.4如图，点A是关于x的反比例函数y=的图像上的一点，过点A作x轴的垂线AB。垂足为B，已知△ABO的面积为6.（1）求该函数的解析式；（2）若点（-2，a）在此函数图像上，求a的值。㈡利用k的几何意义比较下列函数值的大小:y1=2x+2y2=2xy3=2x-3比较函数值的大小的方法方法1.作差法.yo12345-1-2-3-4-5-6213456-1-2-3-4xy3=2x-3y2=2xy1=2x+2比较下列函数值的大小:y1=2x+2y2=2xy3=2x-34.比较函数值的大小方法1.作差法.方法2.图象法⑴无交点.图象位置高,则函数值就大.无论x取何值,图象位置从高到矮依次为y1y3y2∴y1＞y3y2＞xyoy1=-2x-3y3=-2x+1y2=-2x比较下列函数值的大小:y1=-2x-3y2=-2xy3=-2x+1y3＞y1y2＞2x2010.4（2008•恩施州）如图,一次函数=x-1与反比例函数y2=的图象交于点A（2,1）,B（-1,-2）,则使y1y2的x的取值范围是()A.x2B.x2或-1x0C.-1x0D.x2或x-1B-2-112y1y2y2y1⑴x-1时,⑶-1x0时⑷0x2时,⑸x＝2时y1y2y1=y2y1y2y1＝y2y1＜y2⑵x=-1时⑹x2时,y1y2⑵有交点,则以交点和原点为分界点,分段观察图象位置的高低.kxA.一、二象限B.三、四象限C.一、三象限D.二、四象限2015若反比例函数y=的图象经过点A(2,-4),则反比例函数的图象在()10x72523.已知y,求x2011.6如图,点A在双曲线y=上,过A作AC⊥x轴,垂足D、为C,且AC=2,OA的垂直平分线交OC于B,则△ABC的周长为（）A、7B、5C、A在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象,并结合图象回答下列问题:⑴y=-x+2⑵y=-2x+1-12-1-211xy23-2-3①y=-x+2P(?,?).图象交点坐标的性质和求法方法1.估计法方法2.计算法.交点坐标就是两个解析式组成的方程组的解.根据:交点坐标的性质:交点坐标满足两个函数的解析式注意:x轴的解析式为y=0,y轴的解析式为x=0y=0x=0kyxymxb(13)A，(1)Bn，x乐山2007如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当取何值时，反比例函数的两点．值大于一次函数的值．yxAOB已知：A（－２，３），B（４，０）求：△A0B的面积．坐标平面内三角形的面积计算先用坐标的几何意义表示各线段的长.再选择方法：1.有边在坐标轴上.以在坐标轴上的边为底,用三角形的面积公式.y0x-234AB已知：A（4，２），B（４，-4）求：△A0B的面积．2.有边平行于坐标轴.以平行于坐标轴的边为底,用三角形的面积