动态电路方程及其解

第四章动态电路的时域分析1.电容元件电容的VARdtduCdtdqitdiCtdu)(1)(电容元件的特点*电压有变化，才有电流。电容具有隔直流作用。*电容电压具有连续性，不能跃变。*电容有“记忆”电压的作用。电容是无源元件。上节回顾第四章动态电路的时域分析2.电感元件电感的VAR电感元件的特点*电流有变化，才有电压。*电感的电流具有连续性，不能跃变。*电感有“记忆”电流的作用。电感是无源元件。dttdiLtudtdtutLit)()()()()(duLtit)(1)(第四章动态电路的时域分析包含至少一个动态元件（电容或电感）的电路为动态电路。含有一个独立的动态元件的电路为一阶电路。（电路方程为一阶常系数微分方程）含有二个独立的动态元件的电路为二阶电路。（电路方程为二阶常系数微分方程）含有三个或三个以上独立的动态元件的电路为高阶电路。（电路方程为高阶常系数微分方程）3.2动态电路方程及其解第四章动态电路的时域分析换路、暂态与稳态的概念ucUSRC(t=0)(t=t1)+-换路：电路结构或参数发生突然变化。稳态：在指定条件下电路中的电压、电流已达到稳定值。有两类稳态电路：直流稳态电路：电路中电流电压均为恒定量。正弦稳态电路：电路中电流电压均为正弦交流量。第四章动态电路的时域分析暂态：电路换路后从一种稳态到另一种稳态的过渡过程。过渡过程产生的原因：外因换路；内因有储能元件。uctt1US稳态暂态暂态ucUSRC(t=0)(t=t1)+-第四章动态电路的时域分析3.2.1动态电路方程)()()(tututusCRdtduRCRiudtduCiCRC,dtduRCRiudtduCiCRC,sCCuRCuRCdtdu11一阶常系数微分方程1.RC电路第四章动态电路的时域分析)()()(tititisLRsLLiLRiLRdtdidtdiLuRuCiLLL,RuRuiLRR一阶常系数微分方程2.RL电路第四章动态电路的时域分析)()()()(tutututusCRL,dtduCiCsCCCuLCuLCdtduLRdtud1122二阶常系数微分方程RiuRdtdiLuL,dtduRCC22dtudLCC3.RLC电路第四章动态电路的时域分析一般而言，若电路中含有n个独立的动态元件，那么描述该电路的微分方程是n阶的，称为n阶电路。第四章动态电路的时域分析例：求解方程,05xdtdx2)0(x05s5sttseKeKtx5)(22)0(Kx解：特征方程特征根通解代入初始条件，得原问题的解为tetx52)(3.2.2动态电路方程解1.初始值的计算第四章动态电路的时域分析讨论初始值的原因:初始值用来完全确定微分方程的解。动态电路中，要得到待求量，就必须知道待求量的初始值。而相应的微分方程的初始条件为电流或电压的初始值。第四章动态电路的时域分析动态电路的初始状态与初始值t0+和t0-t0时刻换路，则t0-为换路前的瞬间，t0+为换路后的瞬间（称为换路后的初始时刻）。独立初始值uC(t)和iL(t)为电路的独立状态变量。T0+时刻的uC(0＋)和iL(0＋)为电路的原始状态，它们反映了换路前电路所储存的能量。独立初始值：uC(0＋),iL(0＋)非独立初始值：t0+时刻其它u(0＋),i(0＋)值。第四章动态电路的时域分析t0时刻换路，换路前一瞬间记为t0-，换路后一瞬间记为t0+。当t=t0+时，电容电压uC和电感电流iL分别为0000)(1)()()(1)()(0000ttLLLttCCCduLtitidiCtutu)()()()(0000tititutuLLCC换路定律注意：除uC(0＋)和iL(0＋)外，其他各电流和电压在换路前后可以跃变。第四章动态电路的时域分析求初始值的简要步骤如下：(1)0-的独立初始值。由t＜0时的电路，求出uC(0-),iL(0-)；画出0+等效电路；在t=0+时，用电压等于uC(0+)的电压源替代电容元件，用电流等于iL(0+)的电流源替代电感元件，独立电源均取t=0+时的值。(3)由0+等效电路，求出非独立初始值（各电流、电压的初始值）。(2)0+的独立初始值。根据换路定律求出uC(0+)、iL(0+)。第四章动态电路的时域分析初始值的确定例1解：(1)由换路前电路求)0(),0(LCiu由已知条件知0000)(,)(LCiu(2)根据换路定律得：0)0()0(CCuu0)0()0(LL已知：换路前电路处稳态，C、L均未储能。试求：电路中各电压和电流的初始值。S(a)CUR2R1t=0+-L第四章动态电路的时域分析11)0()0(RUC0)0(2uUuuL)0()0(1iC、uL产生突变(3)由t=0+电路，求其余各电流、电压的初始值SCUR2R1t=0+-L(a)电路iL(0+)UiC(0+)uC(0+)uL(0+)_u2(0+)u1(0+)i1(0+)R2R1+++__+-(b)t=0+等效电路,0)0(Cu电容元件可视为短路,0)0(Li电感元件可视为开路第四章动态电路的时域分析例2电路如图所示。在开关闭合前，电路已处于稳定。当t=0时开关闭合，求初始值i1(0+)，i2(0+)和iC(0+)。第四章动态电路的时域分析解：(1)求uC(0-)。由于开关闭合前电路稳定，duC/dt=0，故iC=0，电容可看作开路。t=0-时电路如图，VuC12)0((2)根据换路定律有VuuCC12)0()0(＝12V第四章动态电路的时域分析(3)由0+等效电路，计算各电流的初始值。)0()0()0(21Ciii041212)0(1RuUCsARuC5.1812)0(2Aii5.1)0()0(21第四章动态电路的时域分析例3：已知换路前已达稳态，求uL(0＋)、i(0＋)、i1(0＋)和iL(0＋)。1Ω10V4Ω(t=0)uL+-ii1iL解：)(24110)0(AiLAiiLL2)0()0(1Ω10V4Ω+-i1(0+)2Ai(0+)uL(0+)(3)由0＋等效电路可求得Ai10)0(Ai8)0(1VuL8)0((1)换路前(2)根据换路定律第四章动态电路的时域分析例4电路如图所示，t=0时开关S由1扳向2，在t＜0时电路已处于稳定。求初始值i2(0+)，iC(0+)。解：(1)换路前)0()0(CLuiViRL2045)0(2ARRUs4512421第四章动态电路的时域分析AiiVuuLLCC4)0()0(20)0()0((3)由0+等效电路，计算其余初始值。044)0()0()0(4520)0()0(222iiiARUiLCC044)0()0()0(4520)0()0(222iiiARUiLCC(2)根据换路定律有第四章动态电路的时域分析uC(0-)=U0sRU+_C+_i0tuc实质：RC电路的充电过程2.微分方程经典解法0UU第四章动态电路的时域分析sCCUudtduRCsCRUuu(方程的通解=方程的特解+对应齐次方程的通解))()()(tututuCCC即1.uC的变化规律(1)列KVL方程uC(0-)=U0sRUs+_C+_i0tuc(2)解方程求特解：Cu'sCCUudtduRCsCsUtu'UK)(即：解得：KdtdKRCUKu'sC,代入方程设：第四章动态电路的时域分析求对应齐次微分方程的通解CutAUtututusCCCe)()()(0ddCCutuRC通解即：的解微分方程的通解为）（令RCRCtptAAtuCee)(其解：确定积分常数A0)0(UuC根据换路定则在t=0+时，sUUA0则RCtCUsUut)esU-0()(第四章动态电路的时域分析（3）uC的变化规律)0())(e1(e0ttRCtRCtsUUuC稳态分量Cu仅存在于暂态过程中)(tuCtU0+UsoRCtCUsUut)esU-0()(零输入响应零状态响应第四章动态电路的时域分析3.、变化曲线CuCiCiCutCuCittUUusCe)e1(02.电流iC的变化规律0edd0tRUUtuCitsCCUsRUUs0U0第四章动态电路的时域分析3.直流电源作用一阶动态电路的三要素法sLLsCCuLiLRtiuCRuCRtu1dd11dd000第四章动态电路的时域分析如果用f(t)表示激励us,用y(t)表示响应uC或iL)()(1d)(dtbftytty)(e)()()(tyAtytytyptph设全响应y(t)的初始值为y(0+)A=y(0+)-yp(0+)0e)]0()0([)()(tyytytytpp第四章动态电路的时域分析当激励f(t)为直流时，微分方程的特解是常数。令yp(t)=C,显然有yp(0+)=C,得tCyCtye])0([)(通常情况下，电路时间常数τ＞0，称这种电路为正τ电路。对于正τ电路，当t→∞时，由上式可解得)()(ytyIimCt0)]()0([)()(teyyytyt自由响应暂态响应强迫响应稳态响应上式y(∞)、y(0＋)、称为三要素。利用求三要素的方法求解暂态过程，称为三要素法。第四章动态电路的时域分析V555510)(Cu6666)(LimA3(1)稳态值的计算“三要素”的确定uC+-t=0C10V5k1FS例：5k+-Lit=03666mAS1H第四章动态电路的时域分析1)由t=0-电路求)0()0(LCiu、2)根据换路定律求出)0()0()0()0(LLCCiiuu3)由t=0+时的电路，求所需其它各量的)0(i)0(u或换路与动态元件的处理注意：(2)初始值的计算第四章动态电路的时域分析CR0对于较复杂的一阶电路，R0为换路后的电路除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的无源二端网络的等效电阻。(3)时间常数的计算对于一阶RC电路对于一阶RL电路0RL注意：第四章动态电路的时域分析R03210)//(RRRRU0+-CR0R0的计算类似于应用戴维南定理解题时计算电路等效电阻的方法。即从储能元件两端看进去的等效电阻。CR0R1U+-t=0CR2R3SR1R2R3第四章动态电路的时域分析例1：解：用三要素法求解teuuuuCCCC)()0()(cuCi2i电路如图，t=0时合上开关S，合S前电路已处于稳态。试求电容电压和电流、。(1)确定初始值)0(Cu由t=0-电路可求得V54106109)0(33Cu由换路定则V54)0()0(CCuu应用举例t=0-等效电路)0(Cu9mA+-6kRS9mA6k2F3kt=0Ci2iCu+-CR第四章动态电路的时域分析S9mA6k2F3kt=0Ci2iCu+-CR(2)确定稳态值)(cu由换路后电路求稳态值)(cuV18103636109)(33Cu(3)由换路后电路求时间常数s3630104102103636CR)(Cut∞电路9mA+-6kR3k第四章动态电路的时域分析V54)0(CuV18)(Cus3104三要素)0V(3618)1854(182503104tuttCeettuCiCC250e)250(36102dd6)