17.4.2反比例函数的图象和性质

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17.4.2反比例函数的图象和性质第一节:讲授课1.什么是反比例函数?2.反比例函数的定义中需要注意什么?(1)k是非零常数;(4)xy=k复习回顾下面,我们来研究反比例函数的图象和性质:一般地,形如y=—(k是常数,k=0)的函数叫做反比例函数.kx(2)自变量x的次数为-1(3)自变量x的取值范围x≠03.画函数图象的一般步骤:(1)、列表(2)、描点(3)、连线画出反比例函数和的函数图象.y=x6y=x6y=x6y=x6注意:①列表时自变量取值要均匀和对称②x≠0③选整数较好计算和描点。X…-3-2-1123………X…-3-2-1123………-2-3-6632236-6-3-2解:列表123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556yxxy=x6y=x6123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xy123456-5-1-2-3-4-6………-1-663-32-21.5-1.51.2-1.21……y=x6…-1.5621.51.21-6-3-2-1.2-13y=x6反比例函数的图像,叫双曲线。你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题?•列表时,自变量的值可以选取一些互为相反数的值,这样既可简化计算,又便于对称性描点;•列表描点时,要尽量多取一些数值,多描一些点,这样既可以方便连线,又较准确地表达函数的变化趋势;•连线时一定要养成按自变量从小到大的顺序,依次用平滑的曲线连接,从中体会函数的增减性;x…y=x6123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xy123456-5-1-2-3-4-6………y=x6…-1.5621.51.21-6-3-2-1.2-131632-1-6-3-21、k>0图象在第一和第三象限,在每个象限内y随x的增大而减小.123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556yxxy=x6123456-5-1-2-3-4-6……-1-663-32-21.5-1.51.2-1.21……y=x62、k<0图象在第二和第四象限,在每个象限内y随x的增大而增大。反比例函数的图象和性质:1、k>0图象在第一和第三象限,在每个象限内y随x的增大而减小.2、k<0图象在第二和第四象限,在每个象限内y随x的增大而增大.A:xyoB:xyoD:xyoC:xyo反比例函数y=-的图象大致是()x5D练习11、函数的图象在第________象限,在每一象限内,y随x的增大而_________.2、函数的图象在第________象限,在每一象限内,y随x的增大而_________.3、函数,当x0时,图象在第____象限,y随x的增大而_________.一、三二、四一减小增大减小yx30yx20yx练一练小结:反比例函数y=kx(k≠0)的图像和性质k的取值图象的性质(特征)函数性质k0图象分布在第____象限;在每个象限内,曲线从左向右__;每一支无限靠近坐标轴,但不与坐标轴相交在每个象限内,y随x的增大而____k0图象分布在第____象限;在每个象限内,曲线从左向右____;每一支无限靠近坐标轴,但不与坐标轴相交在每个象限内,y随x的增大而____一、三下降减小二、四上升增大[注意]“在每一象限内”不可丢掉.因为当k>0时,整个图象并非y随x的增大而减小,只是在每一象限内的分支上才是y随x的增大而减小,当k0时也类似.作业:58页练习:1、2.59页习题17.4:2、3、4.复习:反比例函数y=kx(k≠0)的图像和性质k的取值图象的性质(特征)函数性质k0图象分布在第____象限;在每个象限内,曲线从左向右__;每一支无限靠近坐标轴,但不与坐标轴相交在每个象限内,y随x的增大而____k0图象分布在第____象限;在每个象限内,曲线从左向右____;每一支无限靠近坐标轴,但不与坐标轴相交在每个象限内,y随x的增大而____一、三下降减小二、四上升增大[注意]“在每一象限内”不可丢掉.因为当k>0时,整个图象并非y随x的增大而减小,只是在每一象限内的分支上才是y随x的增大而减小,当k0时也类似.作业:1.已知反比例函数(1)若函数的图象位于第一、三象限,求k的值?(2)若在每一象限内,y随x增大而增大,求k的值?4kyxk4k4271aayax2.已知反比例函数,y随x的增大而减小,求a的值和表达式.210(1)71(2)12,31(aaaaaaa解:依题意得:由(1)得:由(2)得:舍去)1的值为2,反比例函数为y=x例已知点(-1,y1),(2,y2),(3,y3)在反比例函数y=-k2-1x的图象上,则下列结论中正确的是()A.y1y2y3B.y1y3y2C.y3y1y2D.y2y3y1B[解析]∵-k2-1≤-10,∴该反比例函数的图象分布在第二、四象限,点(2,y2),(3,y3)在第四象限,而23,所以y2y30,点(-1,y1)在第二象限,所以y10,所以y1y3y2.3.已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,y3)都在反比例函数的图象上,比较y1、y2、y3的大小关系。4yx213312123,,,()()--0()0,yyyyyA2yB1yC3解:40,该反比例函数的图象在一、三象限,在第三象限,且21,,点在第一象限,yy又4.小聪与小明在学习了反比例函数的性质后遇到了一个问题:已知点A(x1,y1),B(x2,y2)都在反比例函数的图象上,且x1>x2,比一比y1、y2的大小关系?yxoBy1y24xy=y2Ax1x2y1x1BAABy1x1y2x2x2y2总结:当0x2x1时,y1<y2;当x2x10时,y1<y2;当x20x1时,y1>y2。5.考察函数的图象,当x=-2时,y=___,当x-2时,y的取值范围是_____;当y﹥-1时,x的取值范围是_________.xy2-1-1y0X-2或x06.已知k0,则函数y1=kx,y2=在同一坐标系中的图象大致是()xkxy0xy0xy0xy0(A)(B)(C)(D)D7.已知k0,则函数y1=kx+k与y2=在同一坐标系中的图象大致是()xkC(A)xy0xy0(B)(C)(D)xy0xy0反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴:直线y=x和y=-x。对称中心是:原点xy012y=—kxy=xy=-x“双胞胎”之间的差异yxoxyoxy2xy2下面给出了反比例函数和的图象,你能知道哪一个是图象吗?为什么?xy2xy2xy2ABPQS1S2S1、S2、S3有什么关系?为什么?RS3xkykSSS321确定反比例函数关系式例1求下列反比例函数的表达式:(1)已知y是x的反比例函数,当x=-1时,y=2.写出y与x之间的函数表达式;(2)某反比例函数的图象过点M(-2,1),求出此反比例函数的表达式;(3)如图17-4-2,反比例函数图象上一点A与坐标轴围成的长方形ABOC的面积是8,求该反比例函数的表达式.解:(1)设反比例函数的表达式为y=kx(k为常数,k≠0).因为当x=-1时,y=2,所以2=k-1,解得k=-2.所以y关于x的反比例函数表达式为y=-2x.(2)根据反比例函数xy=k=(-2)×1=-2.所以反比例函数的表达式为y=-2x.(3)设点A的坐标为(x,y),又根据长方形ABOC的面积数值和点A(x,y)的关系可得:S长方形ABOC=|xy|=|k|=8,解得k=±8.又因为该函数的图象在第一、三象限,故根据反比例函数的性质可得k=8,由此得这个反比例函数的表达式为y=8x.[归纳总结]确定反比例函数关系式中k的方法:一组值确定法:当x=a,y=b时,k=ab;一个点确定法:已知点(a,b),k=ab;长方形面积确定法:|k|=长方形的面积.反比例函数的实际应用例2.一辆汽车匀速通过某段公路,所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系:t=kv,其图象为如图17-4-3所示的一段曲线,且端点为A(40,1)和B(m,0.5).(1)求k和m的值;(2)若行驶速度不得超过60km/h,则汽车通过该路段最少需要多长时间?解:(1)将(40,1)代入t=kv,得1=k40,解得k=40.所以函数关系式为t=40v.当t=0.5时,0.5=40m,解得m=80.所以k=40,m=80.(2)令v=60,得t=4060=23.结合函数图象可知,汽车通过该路段最少需要23h.

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