哈工大大学物理课件(马文蔚教材)-第4章力学

第四章刚体的转动4-1刚体的定轴转动1.平动:在运动过程中刚体上的任意一条直线在各个时刻的位置都相互平行ABA’B’B”A”刚体的平动任意质元运动都代表整体运动2.定轴转动刚体所有质元都绕一固定直线（定轴）做圆周运动刚体的平动和定轴转动用质心运动代表刚体的平动（质心运动定理）用角量描述转动1)角位移θ:在t时间内刚体转动角度2)角速度:0limtdtdt3)角加速度:220limtddtdtdtθz刚体定轴转动角速度的方向按右手螺旋法则确定3vra切向分量tdvdarrdtdt法向分量22nvarrzvOP4.线量与角量关系rdSrdddS匀变速直线运动ddtddtdSvdttdvadt0vvat2012Svtat2202vvaS匀变速定轴转动0t2012tt22024-2质点的角动量角动量守恒定律1.定义:Lrprmv称为一个质点对参考点O的质点角动量或质点动量矩mLrpOsinsinrmvrpL一质点的角动量例：自由下落质点的角动量vmroRrA任意时刻t，有221tgrtgmvmp（1）对A点的角动量0321ggmtprLARrr（2）对O点的角动量prRprLO)(tgmRpRgRRmgtLOm2.质点的角动量定理角动量的时间变化率dtpdrpdtrdprdtddtLd)(vmvrF力矩定义：对o点力矩MrF质点的角动量定理dLMdtrF大小Fr质点对某固定点所受的合外力矩等于它对该点角动量的时间变化率sinFrMFrrMOA二质点角动量守恒定律0外M则0dLdt或L常矢量若对某一固定点，质点所受合外力矩为零，,则质点对该固定点的角动量矢量保持不变。若dLMdt质点的角动量定理oLrmvrmv质点做匀速直线运动中，对0点角动量是否守恒？例：pmvrLOArsinrmv例试利用角动量守恒定律:1)证明关于行星运动的开普勒定律:任一行星和太阳之间的联线,在相等的时间内扫过的面积相等,即掠面速度不变.(2)说明天体系统的旋转盘状结构.(1)行星对太阳O的角动量的大小为sinlim0tsmrLtsinmvrprL其中是径矢r与行星的动量p或速度v之间的夹角.s表示t时间内行星所走过的弧长,则有若用2sinsrsrr表示从O到速度矢量v的垂直距离,则有OAvBrSr用[证明]dtdmtmLt22lim0时间内行星与太阳间的联线所扫过的面积,如图中所示.其中是tdtdmtmLt22lim0其中d/dt称为掠面速度.由于万有引力是有心力,它对力心O的力矩总是等于零,所以角动量守恒,L=常量,行星作平面运动,而且常量mLdtd2这就证明了掠面速度不变,也就是开普勒第二定律.OA1vCDB2v1rS2r1r2r(2)角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构天体系统的旋转盘状结构*三质点系的角动量定理mimjm1iFjFjifijf0irjr质点系角动量1()niiiiLLrp第i个质点角动量的时间变化率()iiiijijdLrFfdt()iiiijiiijdLrFrfdtMM外内M外iiirFM内()iijiijrf0dLMdt外质点系的角动量定理0M外时质点系的角动量守恒iiLL常矢量1.质点系角动量)(1iiniivmrLL'icirrr由得'icivvv以上两式先后代入前式])[('iiiicvmrrL)'('iciiiiiicvvmrvmr]''[]'[iiiiciiiiiicvmrvmrvmr]''[iiiiccvmrvmr0ccrir'irim['][']iiciiciirmvmrv因为这里*四质心参考系中的角动量'ccmrv'0cr0（质心相对质心的位矢为0）质点系角动量可以表示为自旋轨道LLL其中cccLrmvrp轨道('')ciiiiLLrmv自旋也叫固有角动量ccLrpL2.质心参考系的角动量定理cccdrdLdLdpprdtdtdtdt()ccccdLdpvmvrdtdtccdLdprdtdt对定点O：M外()iiirF'()ciiirrF'()ciiiiirFrFdLMdt外由ccdLdprdtdt'()ciiiiirFrFiidpFFdt合外力由质心运动定理cicidprFrdt'()ciiidLrFdt即ccdLMdt质心参考系的角动量定理（对质心的合外力矩等于对质心的角动量的时间变化率）质心可以是动点，上式对非惯性系也成立！前面的角动量定理只对固定点和惯性系才成立注意：2.质心参考系的角动量定理cccdrdLdLdpprdtdtdtdt()ccccdLdpvmvrdtdtccdLdprdtdt对定点O：M外()iiirF'()ciiirrF'()ciiiiirFrFdLMdt外由ccdLdprdtdt'()ciiiiirFrF注意:1)若质点所受外力是有心力,即exif沿着或背着0exiifr0外M这时质点系的角动量守恒2)若质点系所受外力是重力,即gmfiexi则在质心参考系中,角动量总是守恒的3)角动量定理、角动量守恒式都是矢量式，它们对每个分量都成立ir的方向,4-3刚体定轴转动定律dLMdt外质点系的角动量定理Z轴分量zdLMdtz:im质元iF对O点的力矩ioiiMrFoiioiizrFrF（垂直z轴）?oiiiiizirFrFrFirirzMiOizFiFiFzOoirimiivizr（垂直z轴）||iziiMrFsiniiirFizMMzsiniiirF?zizLLiirFioiiiLrmvoiirviioiiLmrvsiniziLLiLizLsinioiimrviziiiLmrvsinioirrim质元到转轴的垂直距离iivr2()iimr刚体到转轴的转动惯量2ziiiJmr2()ziiiLmrzdLMdtz?zzdLdMJdtdtz对固定轴MJirirzMiOizFiFiFzOoirimiivizr刚体定轴转动定律MJ轴外与牛顿第二定律对比amF外刚体到转轴的转动惯量2iiiJmr转动惯量的物理意义:1.刚体转动惯性大小的量度2.转动惯量与刚体的质量有关3.J在质量一定的情况下与质量的分布有关4.J与转轴的位置有关对比刚体的角动量和质点的动量LJmvp与对应mJ转动惯量的计算2iiiJmr称为刚体对转轴的转动惯量对质量连续分布刚体dmrJ2线分布dxdm面分布dsdm体分布dvdm是质量的线密度是质量的面密度是质量的体密度例:一均匀细棒长l质量为m1)轴z1过棒的中心且垂直于棒2)轴z2过棒一端且垂直于棒求:上述两种情况下的转动惯量odxxZ1dxdm解:棒质量的线密度2222121)11mldxxJllZ20231)22mldxxJlz12zzJJ所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义2l2lxdxdmdxoZ2l有关转动惯量计算的几个定理1）平行轴定理2mhJJczzh式中:关于通过质心轴的转动惯量cJm是刚体质量,h是c到z的距离zJ是关于平行于通过质心轴的一个轴的转动惯量2）垂直轴定理yxzJJJiyim0ix对于薄板刚体,C薄板刚体对z轴的转动惯量zJ等于对x轴的转动惯量xJ与对y轴的转动惯量yJ之和yxz3）转动惯量叠加,如图CBAzJJJJ式中:是A球对z轴的转动惯量AJBJ是B棒对z轴的转动惯量cJ是C球对z轴的转动惯量4）回转半径任意刚体的回转半径mJRG式中:J是刚体关于某一轴的转动惯量,m是刚体的质量)(2GRmJACzBo2zGR2l2312mlJZmJRZG2例:73.1312lmmlG不是质心CG转动惯量的计算例:均匀圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量如下图:解:设圆盘半径为R,2RmdmrJz2dsrR02Rrdrr022RrdrRmr0222221mRRrdsZ则质量面密度总质量为m,刚体定轴转动定律的应用Rm1m2已知：滑轮M（看成匀质圆盘）半径R物体m1m2求：a=?am1gm2gT解：11mgTma22Tmgma1212()mgmgmma1212mmagmm对否？T1T2T12TT否则滑轮匀速转动，而物体加速运动T1T2111mgTma222Tmgma12TRTRJaR转动定律线量与角量关系212JMR121212mmagmmMM1.θlmO已知：2.匀质杆m长l下落到θ时求：??F?F解：mgC1cos2Mmgl质心运动定理MJ21cos213mglml3cos2glddtddddtdd3cos2gl003cos2gddl3singl转动定律1F2F1sinnFmgma2costmgFma212nal3sin2g2tla3cos4g15sin2Fmg21s4Fmgco2212FFF2199sin14mg21cos10sinFtgF质心运动定理1sinnFmgma2costmgFma212nal3sin2g2tla3cos4g4-4力矩作功刚体绕定轴转动的动能定理cos||FdrcosFrdOθdθrFvP||drcosMFr21AMd21dJddt21Jd22211122JJ刚体的转动动能212kEJ定轴转动动能定理2222221)(21)(2121JrmrmvmEiiiiiiiiiKrdFdWdMdW12kkEEW力矩作功力矩的功率MdtdMdtdWP4-5对定轴的角动量守恒角动量定理1质点由dtLdM微分式LddtM积分式122121LLLddtMLLtt2质点系由dtLdM外微分式LddtM外积分式122121LLLddtMLLtt外3定轴转动刚体zdJdLdMJdtdtdtz(轴)积分221121ttMdtJdJJ轴这里iiLL定轴转动刚体角动量守恒0M轴合外当时21JJ恒量vOlMm0v?已知：匀质杆M长l子弹m水平速度0v求：?射入不复出解：对Mm系统0M轴外系统角动量守恒2013mvlmvlMlvl033vmmMl进动据刚体的角动量定理有:MdtLdLd同方向M重力矩gmrgmrMcii式中:cr是陀螺质心的位置矢量,与自转轴同向,故与L平行