归结原则

返回后页前页一、归结原则在这一节中,我们仍以代0lim()xxfx§3函数极限存在的条件三、柯西收敛准则二、单调有界定理他类型的极限,也有类似的结论.表,介绍函数极限存在的条件.对于其返回返回后页前页一、归结原则的充要条件是:对于在内),(0xU以x0为极限的,}{nx任何数列)(limnnxf极限都存在,并且相等.证(必要性)设,)(lim0Axfxx则对任给存,0,0在有时当,||00xx定理3.8.),(0有定义在设xUf存在)(lim0xfxx.|)(|Axf}{nx设,,),(00xxxUn那么对上述存在,返回后页前页有时当,,NnN,||00xxn所以.|)(|Axfn这就证明了.)(limAxfnn(充分性)（下面的证法很有典型性，大家必须学恒有.)(limAxfnn0)(xxxf在若时,不以A为极限,则存在正数设任给),,(}{0xUxn,0xxn会这种方法.）返回后页前页.|)(|0Axf现分别取,,,,2,21nn存在相应的),,(,,,,,21nnnxUxxxx使得.,2,1,|)(|0nAxfn对于任意正数),,(,0xUx存在使得,0返回后页前页另一方面,,||00nxxnn所以.lim0xxnn这与Axfnn)(lim矛盾.注归结原则有一个重要应用：若存在,,),(}{},{000xyxxxUyxnnnn但是),(lim)(limnnnnyfBAxf)(lim0xfxx则不存在.返回后页前页例1xxxxcoslim,1sinlim0证明都不存在.解110,0,π2π2π2nnxynn取有,1sinlim101sinlimnnnnyx故xx1sinlim0不存在.π2π,2π,2nnxnyn同理可取有,coslim01coslimnnnnyx故xxcoslim不存在.返回后页前页密集的等幅振荡,当然不会趋于一个固定的值.为了让读者更好地掌握其他五类极限的归结原则,我们写出时的归结原则如下：0xx-1-0.50.511-1xyxy1sin的图象在x=0附近作无比从几何上看，返回后页前页义,则定理3.90)(xxf在设的某空心右邻域)(0xU有定作为一个例题,下面给出定理3.9的另一种形式.义.Axfxx)(lim0那么的充要条件是任给严格递减,),,(}{000xxxUxnn的.)(limAxfnn必有例20)(xxf在设的某空心右邻域),(0xU上有定Axfxx)(lim000{}(),,lim().nnnnxUxxxfxA任给必有返回后页前页证必要性应该是显然的.下面我们证明充分性.,0时假若xxf(x)不以A为极限.则存在正数;|)(|,0,,0110111Axfxxx取},,2min{012xx;|)(|,0,022022Axfxxx},,min{01xxnnn,),(0xUx存在.|)(|0Axf使,0,0返回后页前页这样就得到一列严格递减的数列),,(}{0xUxn,|)(|,00Axfxxnn但这与条件矛盾.;|)(|,0,00Axfxxxnnnn返回后页前页二、单调有界定理定理3.10设f为定义在)(0xU上的单调有界函数,则右极限.)(lim0存在xfxx（相信读者也能够写出关于,)(lim,)(lim0xfxfxxx证不妨设f在.)(0递减xU因为f(x)有界,故使),(0*xUx的单调有界定理.）)(limxfx)(sup)(0xfxUx存在,设为A.由确界定义,对于,0返回后页前页.)(*AxfA,0,00*时当令xxxx由f(x)的递减性,.)()(*AAxfxfA这就证明了.)(lim0Axfxx对于单调函数,归结原则的条件就要简单得多.例3)(lim),()(00xfxUxfxx则上单调，在设存在的充要条件是存在一个数列返回后页前页,,)(}{0,0xxxUxnn.)(lim存在使nnxf证必要性可直接由归结原则得出,下面证明充分,,)(}{0',0xxxUxnn设.)(limAxfnn.)(AxfAn对于任意),,(00xxxUxN).()(xfxfAN,,0N故当时,有Nn假设)(xf递减．性.返回后页前页,0xxxn又因为),(1NN所以,1xxN使因此从而.)()(1AxfxfN.)(AxfA.)(lim0Axfxx即))(xfyxNx1Nxx0xOyAAA返回后页前页三、柯西收敛准则的柯西收敛准则,请读者自这里仅给出)(limxfx有定义,则极限)(limxfx存在的充要条件是:任),(,0MX存在给均有对于任意,,21Xxx.|)()(|21xfxf定理3.11设f(x)在的某个邻域}|{Mxx上明之.行写出其他五种极限类型的柯西收敛准则，并证返回后页前页),(MX存在对一切xX，.2|)(|Axf有所以对一切,,21Xxx1212|()()||()||()|.fxfxfxAfxA证（必要性）,)(limAxfx设则对于任意,0(充分性)对一切，存在对任意的,0MX有,,21Xxx.21xfxf返回后页前页，，则存在任取Nxxnn,}{,时当Nn.)()(mnxfxf.,因此收敛是柯西列这就是说nxf使若存在,,},{,}{nnnnyxyx.)}({发散，矛盾但nzf,,)(,)(ABByfAxfnn1122,,,,,nnnzxyxyxy则令为，，，.nz显然故,,Mxxmn,,.时又当NmnXxn返回后页前页这样就证明了对于任意的,},{nnxx)(limnnxf存在且相等.由归结原则,)(limxfx存在.虽然以及是：,}{,}{,00nnyx，，nnyx.0nnyfxf但是注由柯西准则可知,不存在的充要条件lim()xfx返回后页前页.1sinsin0nnyx但是不这就说明xxsinlim,sinxy对于,10取例如,π2π,2π,2nnxnyn存在．