定积分的概念与性质

1第五章定积分定积分和不定积分是积分学的两个一种认识问题、分析问题、解决问题的definiteintegral不定积分侧重于基本积分法的训练,而定积分则完整地体现了积分思想—主要组成部分.思想方法.2第五章定积分基本要求理解定积分的定义和性质,微积分基本定理,了解反常积分的概念,掌握用定积分表达一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功、引力等）的方法.3第一节定积分的概念与性质定积分问题举例定积分的定义关于函数的可积性定积分的几何意义和物理意义小结思考题作业定积分定积分的性质***definiteintegral41.曲边梯形的面积定积分概念也是由大量的实际问题求由连续曲线及0)(xfy所围成0,ybxax和直线.A的曲边梯形的面积一、定积分问题举例抽象出来的,现举两例.ab)(xfyOxy?A定积分的概念与性质5用矩形面积梯形面积．（五个小矩形）（十个小矩形）habAhxf)(,)()(矩形面积公式为时常数思想以直代曲显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边定积分的概念与性质近似取代曲边梯形面积OxyOxy6ab)(xfy个分成把区间nba],[],[1iixx在每个小区间采取下列四个步骤来求面积A.(1)分割任意用分点,1210bxxxxxann(2)取近似为底，以],[1iixx的窄曲边梯形的面积上对应表示],[1iiixxA定积分的概念与性质;1iiixxx，小区间],[1iixx长度为)(if为高的小矩形,面积近似代替Oxyix1x1ix1nx，上任取一点iiiA(),1,2,iiiAfxin有,iA7AiniixfA)(lim10(3)求和这些小矩形面积之和可作为曲边梯形面积A的近似值.(4)求极限为了得到A的精确值,时，趋近于零)0(取极限,形的面积:分割无限加细,定积分的概念与性质iniixf)(1极限值就是曲边梯},,max{21nxxx即小区间的最大长度82.求变速直线运动的路程思想以不变代变设某物体作直线运动,已知速度)(tvv是时间间隔tTT上],[21的一个连续函数,,0)(tv且求物体在这段时间内所经过的路程.思路把整段时间分割成若干小段,每小段上速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．定积分的概念与性质9(1)分割212101TtttttTnn1iiitttiiitvs)((3)求和iinitvs)(1(4)取极限},,,max{21ntttiniitvs)(lim10路程的精确值(2)取近似is),2,1(ni0令定积分的概念与性质表示在时间区间内走过的路程.],[1iitt某时刻的速度10二、定积分的定义设函数f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入定义若干个分点bxxxxxann1210把区间[a,b]分成n个小区间,各小区间长度依次为),,,2,1(,1nixxxiii在各小区间上任取一点),(iiix作乘积),,2,1()(nixfii并作和iinixfS)(1记},,,,max{21nxxx如果不论对(1)(2)(3)(4)上两例共同点:;II2)方法一样;1)量具有可加性,3)结果形式一样.定积分的概念与性质],[ba11被积函数被积表达式记为积分和怎样的分法,也不论在小区间],[1iixx上点i怎样的取法,只要当,0时和S总趋于确定的极限I,称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分.定积分的概念与性质iniibaxfIxxf)(limd)(10积分下限积分上限积分变量[a,b]积分区间12baxxfd)(bafd)(],[],[)()1(11iiiniixxbaxfS的分法及在是与],[],[)(lim110iiiniixxbaxfI的分法及在是与(2)的结构和上、下限,今后将经常利用定积分与变量记号无关性进行推理.定积分是一个数,定积分数值只依赖于被积函数定积分的概念与性质取法上i有关;注取法上i无关.而与积分变量的记号无关.ttbafd)(uu13,0)(xfbaAxxfd)(曲边梯形的面积,0)(xfbaAxxfd)(曲边梯形的面积的负值baxxfd)(1.几何意义2A1A3A定积分的概念与性质三、定积分的几何意义和物理意义Oxyab)(xf1A2A3A14几何意义定积分的概念与性质baxxfd)(各部分面积的代数和.取负号.它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x=a,x=b之间的在x轴上方的面积取正号;在x轴下方的面积Oxyab)(xf15例xxd1102求解421xy2.物理意义,0)(时当tvt=b所经过的路程s.)(tvvoxy11xxd1102battvd)(作直线运动的物体从时刻t=a到时刻定积分的概念与性质定积分表示以变速16定理1定理2或记为].,[baRf黎曼德国数学家(1826–1866)四、关于函数的可积性,],[)(上连续在设baxf上在则],[)(baxf可积.,],[)(上有界在设baxf且只有有限个上在则],[)(baxf可积.当函数上在区间],[)(baxf的定积分存在时,上在区间称],[)(baxf可积.黎曼可积,第一类间断点,充分条件定积分的概念与性质17例1下面举例按定义计算定积分.求函数()0,1xfxe在上的定积分.定积分的概念与性质18定积分的概念与性质讨论定积分的近似计算问题.],,[)(baCxf设baxxfd)(存在.n等分,用分点bxxxxan,,,,210分成n个长度相等的小区间,长度,nabx取,1iix有iniibaxfxxf)(limd)(10baxxfd)(ni1nab)(1ixfnlim)(lim11niinxfnab每个小区间对任一确定的自然数,n)(11niixfnab],[ba将],[ba将19定积分的概念与性质nabbaxxfd)()(11niixfnab),,2,1,0(niiiyxf)(记取,1iix,nabx如取,iixbaxxfd)(nabbaxxfd)(矩形法公式).(110nyyy).(21nyyy矩形法的几何意义xOy)(xfyab20对定积分的补充规定说明,)1(时当babaxxfd)(0,)2(时当babaxxfd)(abxxfd)(定积分的概念与性质五、定积分的性质在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小．21证baxxgxfd)]()([iiinixgf)]()([lim10iinixf)(lim10iinixg)(lim10baxxfd)(baxxgd)((此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)性质1定积分的概念与性质baxxgxfd)]()([babaxxgxxfd)(d)(22证baxxkfd)(iinixkf)(lim10iinixfk)(lim10iinixfk)(lim10baxxfkd)(性质2性质1和性质2称为定积分的概念与性质线性性质.baxxkfd)(baxxfkd)(()kk为常数,且023补充cba,,例cba若caxxfd)(baxxfd)(baxxfd)(caxxfd)(bccaxxfxxfd)(d)((定积分对于积分区间具有可加性)则性质3cbxxfd)(cbxxfd)(定积分的概念与性质假设bcabaxxfd)(axxfd)(bxxfd)(cc的相对位置如何,上式总成立.不论24证0)(xf0)(ifni,,2,10ix0)(1iinixf},,,max{21nxxxiinixf)(lim10baxxf0d)(性质4性质5定积分的概念与性质baxd1baxdab如果在区间上],[ba,0)(xf则baxxf0d)()(ba25解令xexfx)(]0,2[x0)(xf0d)(02xxexxexd02xxd02于是xexd20xxd20比较积分值xexd20和xxd20的大小.例2定积分的概念与性质26性质5的推论1证)()(xgxf0)()(xfxg0d)]()([xxfxgba0d)(d)(babaxxfxxg定积分的概念与性质如果在区间上],[ba),()(xgxf则babaxxgxxfd)(d)()(ba于是babaxxgxxfd)(d)(性质5如果在区间上],[ba,0)(xf则baxxf0d)()(ba27比较下列积分的大小.(1)120xdx130xdx(2)20xdx20sinxdx(3)01xedx201xedx(4)21lnxdx221lnxdx(5)43lnxdx423lnxdx定积分的概念与性质28)(ba证|)(|)(|)(|xfxfxf说明性质5的推论2定积分的概念与性质性质5如果在区间上],[ba,0)(xf则baxxf0d)()(bababaxxfxxfd|)(|d)(babaxxfxxfd|)(|d)(baxdbaxdbaxd可积性是显然的.上的在],[|)(|baxf由推论129证Mxfm)(bababaxMxxfxmdd)(d)(d)()(abMxxfabmba(此性质可用于估计积分值的大致范围)性质6mM和设分别是函数上的在],[)(baxf最大值及最小值.)(d)()(abMxxfabmba则定积分的概念与性质30定积分的概念与性质例3.试证:证:设)(xf,sinxx则在),0(2π上,有)(xf2sincosxxxx)tan(xx2cosxx0)0()()(fxff2π即π2,1)(xf),0(x2π故xxxfxd1d)(d2π2π2π0002即2πdsin12π0xxx31证Mxxfabmbad)(1)(d)()(abMxxfabmba由闭区间上连续函数的介值定理:性质7(定积分中值定理）定积分的概念与性质如果函数)(xf在闭区间上],[ba连续,则在积分区间上],[ba至少存在一点,使下式成立:))((d)(abfxxfba).(ba积分中值公式上在],[ba至少存在一点,baxxfabfd)(1)(使即))((d)(abfxxfba).(ba32定理用途)(f注定积分的概念与性质性质7(定积分中值定理）如果函数)(xf在闭区间上],[ba连续,则在积分区间上],[ba至少存在一点,使下式成立:))((d)(abfxxfba).(ba1.无论从几何上,还是从物理上,都容易理解平均值公式求连续变量的平均值要用到.如何去掉积分号来表示积分值.baxxfabfd)(1)()(ba.],[)(上的平均值在区间就是baxf2.事实上)(ba33积分中值公式的几何解释))((d)(abfxxfba)(ba上],[ba至少存在一点在区间,使得以区间],[ba为底边,以曲线)(xfy为曲边的曲边