北京大学自主招生数学试题及答案1

北京大学自主招生数学试题及答案1求证：边长为1的正五边形对角线长为5121xx1-xxx54321EDCBA略解：三角形ABE∽三角形DAE，则：15151,AC=1+x=122xxxx,对角线2．已知六边形AC1BA1CB1中AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1，求证：△ABC面积是六边形AC1BA1CB1的一半。PBCAB1C1A1略解：如图得证3已知123123122331122331123123123123min(,,)min(,,)max(,,)max(,,)aaabbbaaaaaabbbbbbaaabbbaaabbb求证：4排球单循坏赛南方球队比北方球队多9支南方球队总得分是北方球队的9倍求证冠军是一支南方球队（胜得1分败得0分）解：设北方球队共有x支，则南方球队有x+9支所有球队总得分为229(29)(28)(29)(4)2xxxCxx南方球队总得分为9(29)(28)9(9)(4)10210xxxx北方球队总得分为(29)(4)10xx南方球队内部比赛总得分29xC北方球队内部比赛总得分2xC(29)(4)(1)0102xxxx解得：112291122911169333x因为(29)(4)10xx为整数x=6或x=8当x=6时所有球队总得分为229(29)(28)(29)(4)2xxxCxx=210南方球队总得分为9(29)(28)9(9)(4)10210xxxx=189北方球队总得分为(29)(4)10xx=21南方球队内部比赛总得分29xC=105北方球队内部比赛总得分2xC=15北方胜南方得分=21-15=6北方球队最高得分=5+6=11因为11×15=165189所以南方球队中至少有一支得分超过11分．冠军在南方球队中当x=8时所有球队总得分为229(29)(28)(29)(4)2xxxCxx=300南方球队总得分为9(29)(28)9(9)(4)10210xxxx=270北方球队总得分为(29)(4)10xx=30南方球队内部比赛总得分29xC=136北方球队内部比赛总得分2xC=28北方胜南方得分=30-28=2北方球队最高得分=7+2=9因为9×17=153270所以南方球队中至少有一支得分超过9分．冠军在南方球队中综上所述，冠军是一支南方球队5（理科）O-XYZ坐标系内xoy平面系内202yx绕y轴旋转一周构成一个不透光立体在点(1,0,1)设置一光源xoy平面内有一以原点为圆心的圆C被光照到的长度为2π，求C上未被照到的长度。