复数的四则运算

复数的四则运算知识回顾(4)复数的几何意义是什么？类比实数的运算法则能否得到复数的运算法则？(1)虚数单位i(2)复数的分类？(3)复数相等的等价条件？二、问题引入：我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律：abbaabba()()abcabc()()abcabc()abcabac那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？注意到i21，虚数单位i可以和实数进行运算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我们已经是自然而然地在进行着，只要把这些零散的操作整理成法则即可了！三、知识新授：1.复数加减法的运算法则：(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;z1-z2=(a-c)+(b-d)i.即:两个复数相加(减)就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).(2)复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有:z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).2.复数的乘法：(1)复数乘法的法则复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部合并.即:(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.(2)复数乘法的运算定理复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.即对任何z1,z2,z3有：z1z2=z2z1;(z1z2)z3=z1(z2z3);z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.四、例题应用：例1.计算)43()2()65(iii解:iiiii11)416()325()43()2()65())((1biabia）（22222)(2ibabiabia）（例2：计算222ibabiabia22baabiba222复数的乘法与多项式的乘法是类似的.我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开,运算,类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.)2)(43)(21(3iii）（iiiiii1520)2)(211()2)(43)(21(解:原式=()abi22=ab22注意a+bi与a-bi两复数的特点.一步到位!(1)计算(a+bi)(a-bi)思考：设z=a+bi(a,b∈R),那么(1)定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数.复数z=a+bi的共轭复数记作?zz,zzabi即?zzzzzzzzzz12121212,另外不难证明:3.共轭复数的概念、性质：(2)共轭复数的性质:.2-2bizzazz；已知:求:iziz2,1212412121,(),zzzzz练习：实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.【探究】i的指数变化规律1,,1,4321iiiiii__,__,__,__8765iiii你能发现规律吗？有怎样的规律？ni414ni24ni34ni,1,i,1i)(,03424144Nniiiinnnni1i1【例3】求值：200932iiiiiiiiiiiiiiiiiii12009200820072006200587654320...）（）（）（解：原式常用结论：2)1(i;2iii11i1;iii11;i.i例4.设,2321i求证：⑴⑵;012.13思考：在复数集C内，你能将分解因式吗？xy22(x+yi)(x-yi)五、课堂小结：1.复数加减法的运算法则：(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;z1-z2=(a-c)+(b-d)i.(2)复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有:z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).2.复数的乘法：(1)复数乘法的法则(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.(2)复数乘法的运算律：复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.即对任何z1,z2,z3有：z1z2=z2z1;(z1z2)z3=z1(z2z3);z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.3.共轭复数的概念、性质：设z=a+bi(a,b∈R),那么定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.复数z=a+bi的共轭复数记作,zzabi即zzzzzzzz12121212,.2-2bizzazz；4.i的指数变化规律：ni414ni24ni34ni,1,i,1i)(,03424144Nniiiinnnn二、问题引入：2)1(i;2iii11i1;2iiiii11;22)1)(1()1(2iiiii.22)1)(1()1(2iiiii目标:分母实数化;手段:.Rzz三、知识新授：复数的除法应怎样进行呢?注意到,实数的除法运算是乘法的逆运算,类比思考,我们可定义复数的除法:定义:把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商,其中a,b,c,d,x,y都是实数,记为()().abiabicdicdi或abixyicdi即,那么,??xy()()abicdiabixyicdi,那么,??xy除法法则:2222()()abiacbdbcadabicdiicdicdcd222222()()()()()()()abicdicdicdiabiabicdicdiacbdbcadiacbdbcadicdcdcd由刚才的求商过程可以形式上写成(体会其中的过程):分母实数化四、例题应用：例1.计算(12)(34)ii解:(12)(34)ii1234ii先写成分式形式(12)(34)(34)(34)iiii化简成代数形式就得结果.222364834510122555iiiii然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数).,34)21(.2ziziz求满足复数例∴z=2+i.,2134iiz解：,25510)21)(21()21)(34(iiiiii练习1、计算:⑴(7)(34)ii⑵21()1ii⑶113232ii1-i413i注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、化简等.-12.若1322xi,则21xx_____.-1又如计算32221xxxx=1322i(整体代入法妙)3.已知复数2(1)3(1)2iizi,且21zazbi(abR、),则a+b=_____.1拓展研究:。两个虚数的差还是虚数虚数两个纯虚数的差还是纯。的共轭复数是纯虚数互为共轭复数、是实数，则如果、下列命题中正确的是例)4()3(ZZ)2(ZZZZ)1(32121(2)互为共轭复数。与则若互为共轭复数。与则若互为共轭复数。与则若互为共轭复数。与则若为：、下列命题中的真命题例2121212121212121ZZ,0ZZ)D(ZZ,0ZZ)C(ZZ,0ZZ)B(ZZ,0ZZ)A(4D的值。求已知1,2150100zziz例5:iiizzziziiz111)()1()1(1)()(1)(,2)1(122521242542422原式解：例6.⑴、已知复数z的平方根为3+4i,求复数z;⑵、求复数z=3+4i的平方根.，由题意，知：2)43()1(iz.247i，，设所求复数为)()2(RbRabia，则ibia43)(2，42322abba.-1-212baba，或解得：方程的所有根．并求出的值角若方程有实数根，求锐的方程．设关于例,)(0)2()(tan72Rixixx，解：设方程的实数根为tx，，且，则：0102tan0)1()2tan(22tttittt.451tan1ot，，.2121ixx，五、课堂小结：1、定义:把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商,其中a,b,c,d,x,y都是实数,记为()().abiabicdicdi或分母实数化222222()()()()()()()abicdicdicdiabiabicdicdiacbdbcadiacbdbcadicdcdcd2、3、转化思想：平方根、方程复数相等4、整体代换思想：整体代换，妙不可言！注：复数集中韦达定理仍然成立！