中考专题：圆与二次函数结合题

1中考专题：圆与函数综合题1、如图，平面直角坐标系中，以点C（2，3）为圆心，以2为半径的圆与轴交于A、B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）若二次函数2yxbxc的图象经过点A、B，试确定此二次函数的解析式．2、如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线233yxbxc过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值．23、如图，抛物线2yaxbxc的对称轴为轴，且经过（0,0），（1a,16）两点，点P在抛物线上运动，以P为圆心的⊙P经过定点A（0,2），(1)求a,b,c的值；(2)求证：点P在运动过程中，⊙P始终与轴相交；（3）设⊙P与轴相交于M1x,0，N212x,0xx两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标。4、如图，二次函数y=x2+bx－3b+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，且经过点（b－2，2b2－5b－1）.（1）求这条抛物线的解析式；（2）⊙M过A、B、C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；（3）连接AM、DM，将∠AMD绕点M顺时针旋转，两边MA、MD与x轴、y轴分别交于点E、F，若△DMF为等腰三角形，求点E的坐标.35、类比、转化、分类讨论等思想方法和数学基本图形在数学学习和解题中经常用到，如下是一个案例，请补充完整。原题：如图1，在⊙O中，MN是直径，AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，∠AOC=90°，AB=3，CD=4，则BD=。⑴尝试探究：如图2，在⊙O中，MN是直径，AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，点E在MN上，∠AEC=90°，AB=3，BD=8，BE：DE=1:3，则CD=（试写出解答过程）。⑵类比延伸：利用图3，再探究，当A、C两点分别在直径MN两侧，且AB≠CD，AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，∠AOC=90°时，则线段AB、CD、BD满足的数量关系为。⑶拓展迁移：如图4，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（m，6），B（n，1）两点（其中0＜m＜3），且以y轴为对称轴，且∠AOB=90°，①求mn的值；②当S△AOB=10时，求抛物线的解析式。6、如图，设抛物线2113424yxx交x轴于A,B两点，顶点为D．以BA为直径作半圆，圆心为M，半圆交y轴负半轴于C．（1）求抛物线的对称轴；（2）将△ACB绕圆心M顺时针旋转180°，得到△APB，如图．求点P的坐标；（3）有一动点Q在线段AB上运动，△QCD的周长在不断变化时是否存在最小值？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．47、如图1，已知抛物线y=－x2+bx+c经过点A（1,0），B（－3,0）两点，且与y轴交于点C.(1)求b，c的值。（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若不存在，请说明理由.(3)如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B,C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．8、如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，交连结AC、FC．(1)求证：∠ACF=∠ADB;(2)若点A到BD的距离为m，BF+CF=n，求线段CD的长；(3)当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，DEAO的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．59、如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为25的圆C与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，且点C在x轴的上方．（1）求圆心C的坐标；（2）已知一个二次函数的图像经过点A、B、C，求这二次函数的解析式；（3）设点P在y轴上，点M在（2）的二次函数图像上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点M的坐标.10、如图，在⊙M中，弦AB所对的圆心角为120°，已知圆的半径为1cm，并建立如图所示的直角坐标系．（1）求圆心M的坐标；（2）求经过A,B,C三点的抛物线的解析式；（3）点P是⊙M上的一个动点，当△PAB为Rt△时，求点p的坐标。611、如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC,OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围．12、已知抛物线23yaxbx经过A(3，0),B(4，1)两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线23yaxbx的函数关系式及点C的坐标；（2）如图（1）,连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2）,连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．713、已知：如图，抛物线y＝x2－x－1与y轴交于C点，以原点O为圆心，OC长为半径作⊙O，交x轴于A，B两点，交y轴于另一点D．设点P为抛物线y＝x2－x－1上的一点，作PM⊥x轴于M点，求使△PMB∽△ADB时的点P的坐标．14、点A（-1,0）B（4,0）C（0,2）是平面直角坐标系上的三点。①如图1先过A、B、C作△ABC，然后在在轴上方作一个正方形D1E1F1G1,使D1E1在AB上，F1、G1分别在BC、AC上②如图2先过A、B、C作圆⊙M，然后在轴上方作一个正方形D2E2F2G2,使D2E2在轴上，F2、G2在圆上③如图3先过A、B、C作抛物线，然后在轴上方作一个正方形D3E3F3G3,使D3E3在轴上，F3、G3在抛物线上请比较正方形D1E1F1G1,正方形D2E2F2G2,正方形D3E3F3G3的面积大小815、如图，已知经过坐标原点的⊙P与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B（0，6），点C是第一象限内⊙P上一点，CB=CO，抛物线2yaxbx经过点A和点C．（1）求⊙P的半径；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在点D，使得点A、点B、点C和点D构成矩形，若存在，直接写出符合条件的点D的坐标；若不存在，试说明理由．16、已知：如图9-1，抛物线经过点O、A、B三点，四边形OABC是直角梯形，其中点A在x轴上，点C在y轴上，BC∥OA，A（12，0）、B（4，8）．（1）求抛物线所对应的函数关系式；（2）若D为OA的中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒．几秒钟后线段PD将梯形OABC的面积分成1﹕3两部分？并求出此时P点的坐标；（3）如图9-2，作△OBC的外接圆O′，点Q是抛物线上点A、B之间的动点，连接OQ交⊙O′于点M，交AB于点N．当∠BOQ=45°时，求线段MN的长．917、如图,已知抛物线21y2xbxc与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）。（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由。18、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此抛物线的表达式与点D的坐标；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为顶点，求出该定点坐标．1019、抛物线22yaxaxb与直线y=x+1交于A、C两点，与y轴交于B，AB∥x轴，且S△ABC=3（1）求抛物线的解析式。（2）P为x轴负半轴上一点，以AP、AC为边作，是否存在P，使得Q点恰好在此抛物线上？若存在，请求出P、Q的坐标；若不存在，请说明理由。（3）AD⊥X轴于D，以OD为直径作⊙M，N为⊙M上一动点，（不与O、D重合），过N作AN的垂线交x轴于R点，DN交Y轴于点S，当N点运动时，线段OR、OS是否存在确定的数量关系？写出证明。20、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数6yx（x＞0）图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B．（1）判断P是否在线段AB上，并说明理由；（2）求△AOB的面积；（3）Q是反比例函数6yx（x＞0）图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO半径画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB．求证：AN∥MB．备用图1121、如图,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点p,PH⊥OA,垂足为H,△PHO的中线PM与NH交于点G．（1）求证：2PGGM；（2）设PH=x,GP=y,求y关于x的函数解析式，并写自变量的取值范围；（3）如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长．22、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BCAC,以斜边AB所在直线为x轴,以斜边AB上的高所在直线为y轴,建立直角坐标系,若OA2+OB2=17,且线段O（）A．OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的两个根.(1)求C点的坐标;(2)以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E,求过（）A．B．E三点的抛物线的解析式,并画出此抛物线的草图;(3)在抛物线上是否存在点P,使△ABP与△ABC全等?若存在,求出符合条件的P点的坐标;若不存在,说明理由.12参考答案1、解：（1）过点C作CM⊥轴于点M，则点M为AB的中点．∵CA=2，CM=，∴AM==1．于是，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0）（2）将（1，0），（3，0）代入得，解得所以，此二次函数的解析式为．2、考点：二次函数综合题。解答：解：（1）如答图1，连接OB．∵BC=2，OC=1∴OB=∴B（0，）将A（3，0），B（0，）代入二次函数的表达式得，解得：，∴．（2）存在．如答图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P．∵B（0，），O（0，0），∴直线l的表达式为．代入抛物线的表达式，得；解得，∴P（）．（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H．设M（），则S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB=（MH+OB）•OH+HA•MH﹣OA•OB==∵，∴13=∴当时，取得最大值，最大值为．3、（1）（2）设P(x,y),⊙P的半径r=，又，则r=，化简得：r=＞，∴点P在运动过程中，⊙P始终与轴相交；（3）设P()，∵PA=，作PH⊥MN于H,则PM=PN=,又PH=,则MH=NH=，故MN=4，∴M(，0)，N(,0)，又A(0，2)，∴AM=,AN=当AM=AN时，解得=0，当AM=MN时,=4，解得：=，则=；当AN=MN时,=4，解得：=，则=综上所述，P的纵坐标为0或或；4、解：（1）把点（b－2，2b2－5b－1）代入解析式，得2b2－5b－1=（b－2）2+b（b－2）－3b+3，……………1′解得b=2.∴抛物线的解析式为y=x2+2x－3.……………2′（2）由x2+2x－3=0，得x=－3或x=1.∴A（－3，0）、B（1，0）、C（0，－3）.抛物线的对称轴是直线x=－1，圆心M在直线x=－1上.……………3′∴设M（－1，n），