1-2 函数的极限

©§1.2函数的极限数列也可以看作是定义在自然数集上的函数n自变量的变化趋势axn引起因变量的变化趋势)(xfy对于函数的某种变化趋势自变量xAxfyy)(的变化趋势引起了因变量这就是本节要讲述的函数极限2,2xxy如©一、函数在无穷远点(infinitepoint)的极限设对充分大的x,函数处处有定义.)(xf如果随着x的无限增大,)(xf相应的函数就无限接近某一常数A.由此可引入函数在无穷远处的极限概念.以下分别用记号xxx表示,x无限增大的过程.x趋向于负无穷x趋向于无穷函数的极限x趋向于正无穷,x||x©Axf)(Xx用数学语言刻划;)(任意小Axf.的过程x表示表示无限增大.1.定义定义1.||)(上有定义在设axxf)(X,0,0X,||时使得当Xx恒有|)(|Axf,)(Axfx有极限时函数则称,)(limAxfx记作).()(xAxf或若,0,0X无限接近、aX函数的极限©:)1(情形x,0:)2(情形xAxf)(limAxf)(lim2.另两种情形,0X,时使当Xx|)(|Axf恒有,0,0X,时使当Xx.)(上有定义在设axxf|)(|Axf恒有.)(上有定义在设axxfxx函数的极限©解显然有,2arctanlimxx,2arctanlimxx可见xxarctanlim和xxarctanlim虽然都存在,但它们不相等.xxarctanlim故不存在.例讨论极限是否存在?xxarctanlimAxfx)(lim函数的极限且Axfx)(limAxfx)(lim©如果在x的某种趋向下,并不无限接近一个常数,则称:)(limxf在x的该种趋向下例当|x|无限增大时,,sinx2x都不无限接近一个常数,因此,sinlimxx2limxx都不存在.函数的极限不存在.)(xf©XX,时或当XxXxA的几何意义Axfx)(lim.3,||时当Xx有|)(|Axf,0,0XAxfA)()(xfy函数,为中心线以直线Ay.2的带形区域内宽为函数的极限)(xfy图形完全落在:xyO©xxysin例0sinlimxxx证明证,0,1X取,||时当Xx0sinxx.0sinlimxxx故要使,0sinxx成立.xxxxsin0sin,||1x只要||1x有,1||x即解不等式||x解出函数的极限xyO©,)(limCxfx如果Cy.111lim22xxx试证证,0注意有12111222xxx,22x为了使,11122xx只要使,22x,2x即,2X取,时当Xx有2222111xxx的图形的.111lim22xxxx解出水平渐近线(horizontalasymptote).函数的极限,0时当x结论则直线)(xfy是函数©Axf)(00xx0x0x,0邻域的去心点x.0程度接近体现xx用数学语言刻划,0xx无限接近)(xf函数于确定值A.;)(任意小表示Axf.0的过程表示xx00xx),(0xU函数的极限二、函数在一点(one-point)的极限xO0x©,0若)(,0若1.定义定义2设函数有定义.,0,00时使当xxAxf)(,)(0Axfxx有极限时函数则称,)(lim0Axfxx记作).()(0xxAxf或,0函数的极限恒有)(xf在点x0某去心邻域内©注(1)定义中的00xx所以,0时xxf(x)有没有极限与f(x)在点x0是否有定义并无关系.(2)定义中标志x接近x0的程度,也将越小.(3)不要求最大的,,0xx表示它与一般地说,越小,只要求存在即可.有关.函数的极限©,0AyA必存在x0的去心邻域,00xx对于此邻域内的x,对应的函数图形位于这一带形区域内.的几何意义Axfxx)(lim.20函数的极限作出带形区域,0,00xx当Axf)(,0xyO)(xfyAA0x0x0xA©一般说来,,)(lim0Axfxx论证应从不等式Axf)(出发,推导出应小于怎样的正数,这个正数就是要找的与相对应的,这个推导常常是困难的.但是,注意到我们不需要找最大的,所以Axf)(适当放大些,的式子,变成易于解出0xx.找到一个需要的找到就证明完毕.可把函数的极限©例1.证明证:Axf)(故,0对任意的,0当时,因此总有©例2.lim00xxxx证明证,)(0xxAxf,0,取,00时当xx0)(xxAxf,.lim00xxxx函数的极限©例3|6)22(|x若使得证：.|2|2x应有。只需2/|2|x,2/令时，当|2|x.|6)22(|成立就有x极限值等于函数值©例+.211lim21xxx证明证211)(2xxAxf,0,只要取,10时当x函数在点1x,)(Axf,2112xx有.211lim21xxx函数的极限处没有定义.1x要使©(1)证明914lim2xx证,0由于24914xx要使914x解出)(2x只要,42x可取,20时当x有,914x914lim2xx解不等式,44函数的极限©(2)证明0coscoslim0xxxx0coscosxx2sin20xx0xx证,0可取,,00时当xx有,coscos0xx0coscoslim0xxxx同样有0sinsinlim0xxxx(自己证).函数的极限2sin2sin200xxxx©3.左、右极限(单侧极限)例如,0,10,1)(2xxxxxf设00xx和分,0xx从左侧无限趋近;00xx记作,0xx从右侧无限趋近.00xx记作.1)(lim0xfx函数的极限两种情况分别讨论!xyO1xy112xy©单侧极限的左极限。点在是则称无限接近，与某个实数时，函数值的方向无限接近从小于若自变量000)()(xxfAAxfxxx.)0()(lim00AxfAxfxx或记为－的右极限。点在是则称无限接近，与某个实数时，函数值的方向无限接近从大于若自变量000)()(xxfAAxfxxx.)0()(lim00AxfAxfxx或记为0xx0xx.,00xxxx的过程中注：.)(lim0称为双侧极限极限xfxx©左极限,0右极限Axfxxxx)(lim)(000记作Axfxxxx)(lim)(000记作,0.)(Axf恒有00xxx使得时,Axf)0(0或,0,000xxx使得时,.)(Axf恒有Axf)0(0或.)(0Axf或或.)(0Axf函数的极限}0{0xxx注}0{}0{00xxxxxx©定理1Axfxx)(lim0Axfxf)0()0(00的充要条件是（单侧极限与双侧极限的关系）证略。（P8）:)(0为处极限存在的充要条件在点函数xxf等。相处的左右极限都存在且在点0)(xxf性质常用于判断分段函数当x趋近于分段点时的极限.©试证函数,1sin1)(xxxxxf)(lim1xfxxx1lim.,1无极限时当x证)(lim1xfxxxsinlim111sin左、右极限不相等,故.)(,1无极限时xfx例函数的极限©xxx||lim0xxx||lim0左、右极限存在,证1)1(lim0xxxx||lim011lim0xxxx0lim故极限不存在.例函数的极限但不相等,讨论的存在性.xyO11xxx0lim©设函数,00)(xxxxxf.,0函数极限的存在性时讨论x答案0)(lim0xfx总结一下x的趋向一共有六种:,,,000xxxxxx.,,xxx函数的极限©函数极限与数列极限相比,有类似的性质,定理1(极限的唯一性)有极限,若在自变量的某种变化趋势下,则极限值必唯一.定理2(局部有界性),0时若当xxf(x)有极限,则f(x)在上有界;),(0xU,时若当xf(x)有极限,,||,0时当则存在XxX.)(有界函数xf函数的极限且证明方法也类似.三、函数极限的性质)(xf©,)(lim)1(0Axfxx若定理3(局部保号性)证(1)设A0,取正数,2A,)(lim0Axfxx由,0则,00xx使当,2)(AAxf即2)(2AAxfAA.0)(xf);0)((0)(,),(0xfxfxU或有内则在),0)((0)(),()2(0xfxfxU或内有若在).0(0AA或则必有23A2A有自己证函数的极限),0(0AA或且©),0()(lim0AAxfxx若只要取,2A便可得更强的结论:证(1),2)(Axf已证也即2)(Axf(2)自己证.定理3(1)的证明中,,),(0内使在xU.2|||)(|Axf有不论,0则函数的极限,00AA或定理3,0时A,0时A©),0)((0)(),()2(0xfxfxU或内有若在).0(0AA或则必有证,0)(xf设假设上述论断不成立,,0A即设那末由(1)就有),,(0xU在该邻域内,0)(xf这与.0A所以类似可证的情形.0)(xf假设矛盾,函数的极限若定理3(2)中的条件改为,0)(xf必有?0A不能!如是否定理3),0(0,)(lim)1(0AAAxfxx或且若);0)((0)(,),(0xfxfxU或有内则在定理3©定理4(函数极限与数列极限的关系)函数的极限如果极限存在,}{nx为函数)(xf的定义域内任一收敛于x0的数列,那么相应的函数值数列且满足:0xxn),(Nn)}({nxf必收敛,且证设则,0,0,||00时当xx.|)(|Axf有故对,0,N,时当Nn有.||0xxn,时当Nn,||00xxn有.|)(|Axfn即★0limxxnn)(lim0xfxx).(lim)(lim0xfxfxxnn,)(lim0Axfxx)(limnnxfA©注以上定理也适用于其它极限过程)(limxfx等(包括单侧极限),其结论只需根椐其极限过程,的自变量范围.改动使不等式成立和函数的极限©1.函数极限的或X定义;2.函数极限的性质局部保号性;函数的极限四、小结唯一性;局部有界性;函数极限与数列极限的关系;3.函数的左右极限判定极限的存在性.©思考题(A)先给定后唯一确定;极限定义中与的关系是().(C)先确定后给定;(D)与无关.B(1)(B)先确定后确定,但的值不唯一;函数的极限©(2)如果与存在,则().)(lim0xfxx)(lim0xfxx(B)存在但不一定有)(lim0xfxx);()(lim00xfxfxx(C)不一定存在;)