7-2动量矩定理解析

7.2动量矩定理质系中各质点对点O（矩心）的动量矩的矢量和称为质系对点O的动量矩，也称角动量（AngularMomentum）OiiiimLrv动量矩是一个向量，它与矩心O的选择有关。质系的动量矩质量均为m的两小球C和D用长为2l的无质量刚性杆连接，并以其中点固定在铅垂轴AB上，杆与AB轴之间的夹角为，轴AB转动角速度为，角加速度为，A、B轴承间的距离为h，求系统对O点的动量矩。例1ωACoDB解CD杆的角速度向量(cossin)ωjk两小球对O点的向径CDllrjrj小球的速度sinCClvωrisinDDlvωri由质系的动量矩的定义可得22sinOCCDDmmmlLrvrvk以两个小球为研究对象，建立固连坐标系OxyzAYBYyOLACoDBzmgmgBZω定轴转动圆盘对圆心的动量矩rrOriOiiiimLrv()iiiimrωr2iiimrωOJωiivωr问题:如何求平面运动圆盘对质心的动量矩？质系对质心的动量矩等于质系相对质心平动系的动量矩，质心速度没有贡献。iiρirCrxyzC'x'y'zOivCviiρirCrxyzC'x'y'zOivCv111()nnnCiiCiriiCiiiriiimmmLρv+vρvρv10niiCimmρρ1nCiiirimLρv1nCiiiimLρviv—质点的绝对速度质系对质心的动量矩iCirv=v+virv—相对质心平动系速度平面运动圆盘对质心的动量矩OiiirimLrv()iiiimrωr2iiimrωOJωirivωrvvooOOrrvvooOxyri可见：平面运动圆盘对质心的动量矩等于圆盘以同样角速度绕质心作定轴转动的动量矩。问题：如何求圆盘对水平面上一点的动量矩？mivirixyzAOrAiiAr=ρ+r111()nOiAiiinniiiAiiiimmmLρ+rvρvrvOAACmLL+rv对两点动量矩之间的关系iρ例2一半径为r的匀质圆盘在水平面上纯滚动，如图所示。已知圆盘对质心的转动惯量为JO，角速度为，试求圆盘对水平面上O1点的动量矩。11OOOOOmLLrvvvooOOrrOO11vvooOOrrOO11xyOrviOOJLω1OOr12OOOmmrrvω12()OOJmrLω解：对任意点的动量矩定理1nAiiiimLρv11ddddnniAiiiiiiimmttρLvρa()()ieiiiimFFaddiiAtρ=vv()ddeAAACmtLMvv质系动量矩的变化仅取决于外力主矩，内力不能改变质系的动量矩。下面介绍两种常用的特殊情况：mivirixyzAOrAiρ对固定点的动量矩定理()ddeAAACmtLMvv质系对固定点A的动量矩的变化率等于作用在质系上的外力系对A点的主矩。()()()()eeeeAAxAyAzMMMMi+j+kAAxAyAzLLLLijk()()()ddd,,dddAyeeeAxAzAxAyAzLLLMMMttt()ddeAAtLM0Av刚体对定轴z的动量矩：211()nnOziiiiiOziiLmrrmrJOzOzJMOzOzJMxyzOO1miriewFnviF2F1质系对定轴z的动量矩定理：刚体定轴转动运动微分方程给定MOz用此方程求解刚体转动规律。给定刚体转动规律不能用此方程求解约束反力。可用刚体一般运动的动力学方程(6个)求解。质量均为m的A和B两人同时从静止开始爬绳。已知A的体质比B的体质好，因此A相对于绳的速率u1大于B相对于绳的速率u2。试问谁先到达顶端并求绳子的移动速率u。OAvBvABOAvBvAB例3解取滑轮与A和B两人为研究对象，系统对O点动量矩守恒：()0ABrmvmv设绳子移动的速率为u1Avuu2Bvuu12()/2uuuABvvOAvBvABOAvBvAB解动量矩守恒()ddeAAtLM()0eAM当外力系对某固定点的主矩等于零时，质系对于该点的动量矩保持不变。()ddeOzOzLMt()0eOzM当外力系对某固定轴的合力矩等于零时，质系对于该轴的动量矩保持不变。ALCOzLconst实例分析通过改变转动惯量来控制角速度。卫星展开太阳能帆板有一定消旋作用。实例分析芭蕾舞演员花样滑冰运动员起旋、加速、减速、停止的分析()()()()eeeeCCxCyCzMMMMi+j+kCCxCyCzLLLLijk()()()ddd,,dddCyeeeCxCzCxCyCzLLLMMMttt质系对质心平动系各轴的动量矩的变化率等于外力对相同坐标轴的合力矩。Cxyz为质心平动系。()ddeAAACmtLMvvACvv()ddeCCtLM质系对质心C的动量矩的变化率等于作用在质系上的外力对同点的主矩。对质心的动量矩定理质量均为m的两小球C和D用长为2l的无质量刚性杆连接，并以其中点固定在铅垂轴AB上，杆与AB轴之间的夹角为，轴AB转动的角速度为，角加速度为零，A、B轴承间距离为h，求作用轴上的力矩及A、B轴承的约束反力。例4ωACoDBOOOdddtdtLL+ωL由质系的质心运动定理得,2ABBYYZmg外力对O点的主矩为()eOAYhMi质系对定点的动量矩定理：222sincosABmlYYhAYBYyOLACoDBzmgmgBZω解22sinOmlLk利用例1的结果222sincosmli讨论：设作用轴AB上主动力矩为M(t)，求约束反力。对质心的动量矩守恒()ddeCCtLM()0eCMCLC当外力系对质心的主矩等于零时，质系对于质心的动量矩保持不变。()ddeCzCzLMt()0eCzMCzLconst当外力系对质心平动系某轴的合力矩等于零时，质系对于该轴的动量矩保持不变。实例分析花样滑冰：起旋、加速实例分析卫星姿态控制：动量矩交换讨论问题：动量轮的安装必须通过卫星质心吗？实例分析猫下落翻身：1/8秒，翻身180度跳水运动空翻空翻＋转体＝“旋”实例分析体育健身器材问题：绕竖方向动量矩守恒吗？刚体平面运动微分方程Oyxy'x'F1FnF2virCaric刚体相对质心的动量矩211nnCCriiiriiCiiLLrmvmrJ应用质心运动定理和对质心的动量矩定理CxCyCCzmxRmyRJM刚体平面运动微分方程yxABO例6长为l质量为m的均质细杆AB位于铅垂平面内。开始时杆AB直立于墙面，受微小干扰后B端由静止状态开始沿水平面滑动。求杆在任意位置受到墙的约束反力（表示为的函数形式，不计摩擦）。22(cossin)2(sincos)2CClxly刚体平面运动微分方程：2(cossin)2AlmX2(sincos)2BlmYmg21sincos1222BAllmlYX(a)(b)(c)CPAXBYyxABO11sin,cos22CCxlyl解取为广义坐标解3sin(3cos2)4AXmg杆脱离墙的条件：XA=02arccos3将式(a)和(b)代入(c)：3sin2gl23(1cos)gl2(cossin)2AlmX2(sincos)2BlmYmg21sincos1222BAllmlYX(a)(b)(c)ddddt习题4-30抽屉宽d，长b，与侧面导轨之摩擦系数均为f。因抽屉较大，在距两侧面为l处装置了两个拉手，如图所示。为了在使用一个拉手时抽屉也能顺利抽出，各尺寸应如何选择？从动力学角度研究一下？例7半径为r、质量为m的均质圆柱体，在半径为R的刚性圆槽内作纯滚动。在初始位置，由静止向下滚动。求：1.圆柱体的运动微分方程；2.圆槽对圆柱体的约束力；3.微振动周期。0RCO1.圆柱体的运动微分方程2()sin()costnCmamRrFmgmamRrNmgJFr圆柱体作平面运动，由刚体平面运动微分方程得：RCOmgFNnataC*()rRr1()2mRrF3()sin02Rrg圆柱体在圆槽上作大幅摆动的非线性运动微分方程解()/Rrr2.圆槽对圆柱体的约束力2()sin()costnmamRrFmgmamRrNmg2sin()cos()FmgmRrNmgmRr3.微振动的周期3()sin02Rrgsin203()gRr3()2π2RrTg均质杆AB长为l，质量为m，用两根细绳悬挂。当把B绳突然剪断时，求杆AB角加速度和A绳中张力。例8解AB杆的动力学方程：CAmxmgT0Cmy211122AmllTCArtrnaaaa0rna/2rtal需补充方程后求解ABoyxAaCxCCy12Crtxal32gl14ATmg联立求解ABoyxCxCCyATP讨论当突然把绳AB剪断时，如何补充运动学方程？OABl例9CAFNxyxOmg质量为m、半径为R的均质圆盘沿倾角为的斜面上只滚不滑，如图所示。试求圆盘的质心加速度和斜面对圆盘的约束力。不计滚动摩阻。解取x为广义坐标sinmxmgF0cosNmg212mRFRxR2sin3xgCAFNxyxOmg1sin3FmgcosNmg讨论圆盘在自身平面内沿水平地面作纯滚动，如果初始时刻轮心速度(角速度)为常数，则接触点速度为零，加速度的水平分量也为零，因此接触点与地面既无相对滑动又无相对滑动趋势，滑动摩擦力为零。在水平方向没有主动力作用情况下，保持这种纯滚动无需摩擦力，完全光滑的接触也可以。圆盘在自身平面内沿斜面作纯滚动，如果初始时刻轮心速度(角速度)为常数，则接触点速度为零，加速度的水平分量也为零，因此接触点与地面既无相对滑动又无相对滑动趋势，滑动摩擦力为零。如果此后仍然没有摩擦力，这种纯滚动则无法保持，因为重力会使质心加速，但没有力矩使转动加快。如果有摩擦力，它既可以加速转动又可以减缓质心加速，从而保持纯滚动。讨论圆盘在斜面上不打滑的条件1tan3若圆盘将又滚又滑，则补充方程为'FN(sincos)2cosxggR1sin,cos3FmgNmgCAFNxyxOmg讨论对瞬心A点的动量矩定理CAFNxyxOmg()ddeAACAmtLMvv232AALJmR由对A点的动量矩定理：23sin2mRmgR2sin3gR2sin3xgCPAXBYyxABO在例6中，对瞬心D的动量矩为：D22111()1243DDLJmlmlml由对D点的动量矩定理：211sin32mlmgl3sin2gl讨论对瞬心A点的动量矩定理CAFNxyxOmg()ddeAACAmtLMvv2()AACLJJm+2d)dd(dAAmtLJtddAALJt如果瞬心A到质心C的距离保持不变：ddAALJt杂技演员使杂耍圆盘高速转动，并在地面上向前抛出，不久杂耍圆盘可自动返回到演员跟前。求完成这种运动所需的条件?(设开始时盘心速度为，盘角速度为，求与应该满足的关系)0v00v00v0oA例11长为的均匀杆AB，以铰固连于A点，如果初始时杆自水平位置无初速度的开始运动，当杆通过铅直位置时去掉铰使杆成为自由体。试分析杆的运动，并求去掉铰以后，杆质心下降h时，杆转了多少圈?l2ACBxy例12