三角形全等类型

全等三角形是初中阶段数学学习的重点，也是难点，主要有以下几种类型一．A字型1.如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC,∠B=∠C，求证：AD=AE,证明：在△ABE与△ACD中变式1..如图，AD=AE,∠B=∠C，那么BE和CD相等么？为什么？变式2.如图：AB=AC,AD=AE,求证∠B=∠C有公共角时证明三角形全等就从公共角开始书写二．8字形如图,O是AB的中点，∠A=∠B，△AOC与△BOD全等吗?为什么？2.如图，AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，求证DC∥AB3.如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，AE与CE有什么关系？证明你的结论。AEDCBOABCDODCBAFEDCBA4.如图，已知AB=CD，AC=DB，求证∠A=∠D5.如图，两直线AC,BD相交于点O，BO=DO,AO=CO,直线EF过点O且分别交AB、CD于点E、F,求证：OE=OF三.公共边是对应边有公共边时，书写时就从公共边开始书写。比如1.在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证△ABD≌△ACD证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD在△ABD与△ACD中ACDABDACABCADBADADAD△△小结：本题有公共边是AD，在用大括号书写条件时就从公共边开始书写，然后再看其他条件，这样按照顺序书写就降低了难度，因为初学三角形全等时，很大一部分同学不知道该写什么，险些先写什么。2.如图∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，求证AC=DB分析：此题有公共边BC，所以在书写证明时应该从公共边开始观察，再分析条件给出的什么条件，如果是两角夹边就把公共边写在中间，否则就写在第一条。证明：在△ABC与△DCB中DCBAFEODCBADCBADCBADCBABCCBBCDCBBCA∴△ABC≌△DCB（ASA）3.如图，AB=CD，且AB∥CD，求证△ABC≌△CDA四.平移得到的全等三角形已知点B,E,C,F在同一条直线上，AB=DF,AC=DE,BE=CF,求证：∠A=∠D2.已知：AB=DF,AC=DE,BE=CF,求证AB∥DF3.已知如图A,C,F,D在同一条直线上，AF=DC,AB=DE,BC=EF,求证△ABC≌△DEF4..已知：AB=CD,AE=DF,BF=CE,求证(1)AF=DE;(2)AE∥DFDCBAFEDCBAFEDCBAFEDCBA5.如图，已知：AB=CD，AE=DF,CE=BF，求证：（1）AF=DE;(2)AE∥DF五.旋转1.如图，已知AB=AD,∠A=∠D，∠1=∠2求证：BC=DE2.已知：如图（2）AB=AD,BC=DE,∠1=∠2.求证（1）AC=AE(2)∠CAE=∠CDE3.已知，如图∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF,给出下列结论①∠1=∠2；②BE=CF；③△CAN≌△ABM；④CD=DN.其中正确的结论是.6.已知：如图，AB⊥CD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE，求证：AC⊥CEFEDCBA21EDCBA21EDCBANM21EDCBAFEDCBA判断两线段的关系如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC,AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD,AG，探索AD、AG的关系。【解析】探索两线段关系时，需要从数量关系和位置关系两个方面考虑。数量关系大多是相等关系或者是倍数关系，位置关系有平行或垂直关系.答：AD、AG的关系是：AD=AG;AD⊥AG理由如下：∵BE，CF分别是AC,AB两边上的高∴∠AFC=∠AEB=90°在Rt△ACF中，∠AFC=90°∠ACD+∠CAB=90°在Rt△ABE中，∠AEB=90°∠ABE+∠BAC=90°∴∠ACD=∠ABE在△ABD与△GCA中CABDACGABDGCABHGEFDCBA∴△ABD≌△GCA(SAS)∴AD=AG∠G=∠BAD∵∠AFC=90°，∴∠AFG=180°-∠AFC=90°在Rt△AGF中，∠AFG=90°∴∠G+∠GAF=90°∴∠BAD+∠GAF=90°，即AD⊥AG.∴AD=AGAD⊥AG小结：本题图形相对来说比较复杂，对于初二学生来说找到全等三角形比较困难，还有探索两线段关系时，学生很容易想到的是数量关系，位置关系容易忽略.在书写过程时有的同学会运用对顶角相等证明∠ACD=∠ABE.这样写也是正确的..2.如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB，M,N分别是AE,CD的中点，试探索BM和BN的关系，并证明你的结论.【分析】规范书写过程：∵∠ABD=∠DBC，且∠ABD+∠DBC=180°∴∠ABD=∠DBC=90°在△ABE与△DBC中BCBEDBCABEDBAB∴△ABE≌△DBC（SAS）∴AE=DC∠BAE=∠BDCMNEDCBA∵M,N分别是AE,CD的中点∴AM=21AE;DN=21DC∴AM=DN在△ABM与△DBN中DNAMBDNBAMDBAB∴△ABM≌△DBN（SAS）∴BM=BN∠ABM=∠DBN∴∠ABM+∠MBD=∠DBN+∠MBD∴∠MBN=∠ABD=90°，∴BM⊥BN小结：通过测试发现容易失分的地方有两处：（1）证明∠ABD=∠BDC=90°时，不写∠ABD+∠DBC=180°，而直接由全等三角形对应角相等得出90°（2）在书写M,N分别是AE,CD的中点时，没有写出中点的定义AM=21AE;DN=21DC：而是由中点直接得出AM=DN，思维不严谨.3.如图，OE平分∠AOB，在OA,OB上取OC=OD，PM⊥CE于M，PN⊥DE于N，探索PM,PN的关系。PENMOCDBA4.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，点E,F分别在AB，AC上，∠AED+∠AFD=180°，探索DE,DF的数量关系。FECDBA