清华大学内部线性代数必须熟记的结论

1线性代数1、行列式1.n行列式共有2n个元素，展开后有!n项，可分解为2n行列式；2.代数余子式的性质：①、ijA和ija的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；3.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)ijijijijijijMAAM4.设n行列式D：将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D，则(1)21(1)nnDD；将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D，则(1)22(1)nnDD；将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D，则3DD；将D主副角线翻转后，所得行列式为4D，则4DD；5.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)nn；③、上、下三角行列式（◥◣）：主对角元素的乘积；④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)2(1)nn；⑤、拉普拉斯展开式：AOACABCBOB、(1)mnCAOAABBOBC⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；6.对于n阶行列式A，恒有：1(1)nnknkkkEAS，其中kS为k阶主子式；7.证明0A的方法：①、AA；②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax，证明其有非零解；④、利用秩，证明()rAn；⑤、证明0是其特征值；22、矩阵1.A是n阶可逆矩阵：0A（是非奇异矩阵）；()rAn（是满秩矩阵）A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组0Ax有非零解；nbR，Axb总有唯一解；A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积；A的特征值全不为0；TAA是正定矩阵；A的行（列）向量组是nR的一组基；A是nR中某两组基的过渡矩阵；2.对于n阶矩阵A：**AAAAAE无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()TTTTAAAAAA***111()()()TTTABBAABBAABBA4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：若12sAAAA，则：Ⅰ、12sAAAA；Ⅱ、111121sAAAA；②、111AOAOOBOB；（主对角分块）③、111OAOBBOAO；（副对角分块）④、11111ACAACBOBOB；（拉普拉斯）⑤、11111AOAOCBBCAB；（拉普拉斯）33、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rmnEOFOO；等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若()()rArBAB；2.行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rAEEX，则A可逆，且1XA；②、对矩阵(,)AB做初等行变化，当A变为E时，B就变成1AB，即：1(,)(,)cABEAB；③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果(,)(,)rAbEx，则A可逆，且1xAb；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n，左乘矩阵A，i乘A的各行元素；右乘，i乘A的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)Eij，且1(,)(,)EijEij，例如：1111111；④、倍乘某行或某列，符号(())Eik，且11(())(())EikEik，例如：1111(0)11kkk；⑤、倍加某行或某列，符号(())Eijk,且1(())(())EijkEijk，如：11111(0)11kkk；5.矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)mnrAmn；②、()()TrArA；③、若AB，则()()rArB；④、若P、Q可逆，则()()()()rArPArAQrPAQ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max((),())(,)()()rArBrABrArB；（※）⑥、()()()rABrArB；（※）⑦、()min((),())rABrArB；（※）⑧、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且0AB，则：（※）Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组0AX解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()rArBn4⑨、若A、B均为n阶方阵，则()()()rABrArBn；6.三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001acb的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnnmnmmnnnnmmnmnnnnnnmabCaCabCabCabCbCab；注：Ⅰ、()nab展开后有1n项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!mnnnnnnnmnCCCmmnmⅢ、组合的性质：111102nmnmmmmrnrrnnnnnnnnrCCCCCCrCnC；③、利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nrAnrArAnrAn；②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAXXAAAAXX；③、*1AAA、1*nAA8.关于A矩阵秩的描述：①、()rAn，A中有n阶子式不为0，1n阶子式全部为0；（两句话）②、()rAn，A中有n阶子式全部为0；③、()rAn，A中有n阶子式不为0；9.线性方程组：Axb，其中A为mn矩阵，则：①、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程；②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程；10.线性方程组Axb的求解：①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解：自由变量赋初值后求得；11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：①、11112211211222221122nnnnmmnmnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb；②、1112111212222212nnmmmnmmaaaxbaaaxbAxbaaaxb（向量方程，A为mn矩阵，m个方程，n个未知数）③、1212nnxxaaax（全部按列分块，其中12nbbb）；④、1122nnaxaxax（线性表出）5⑤、有解的充要条件：()(,)rArAn（n为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m个n维列向量所组成的向量组A：12,,,m构成nm矩阵12(,,,)mA；m个n维行向量所组成的向量组B：12,,,TTTm构成mn矩阵12TTTmB；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2.①、向量组的线性相关、无关0Ax有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出Axb是否有解；（线性方程组）③、向量组的相互线性表示AXB是否有解；（矩阵方程）3.矩阵mnA与lnB行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax和0Bx同解；(101P例14)4.()()TrAArA；(101P例15)5.n维向量线性相关的几何意义：①、线性相关0；②、,线性相关,坐标成比例或共线（平行）；③、,,线性相关,,共面；6.线性相关与无关的两套定理：若12,,,s线性相关，则121,,,,ss必线性相关；若12,,,s线性无关，则121,,,s必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B：若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7.向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs；向量组A能由向量组B线性表示，则()()rArB；向量组A能由向量组B线性表示AXB有解；()(,)rArAB向量组A能由向量组B等价()()(,)rArBrAB8.方阵A可逆存在有限个初等矩阵12,,,lPPP，使12lAPPP；①、矩阵行等价：~rABPAB（左乘，P可逆）0Ax与0Bx同解②、矩阵列等价：~cABAQB（右乘，Q可逆）；③、矩阵等价：~ABPAQB（P、Q可逆）；9.对于矩阵mnA与lnB：①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；②、若A与B行等价，则0Ax与0Bx同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；④、矩阵A的行秩等于列秩；10.若mssnmnABC，则：①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，TA为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组0Bx的解一定是0ABx的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、0ABx只有零解0Bx只有零解；②、0Bx有非零解0ABx一定存在非零解；612.设向量组12:,,,nrrBbbb可由向量组12:,,,nssAaaa线性表示为：1212(,,,)(,,,)rsbbbaaaK（BAK）其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关()rKr；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()rrBrAKrKrKrrKr；充分性：反证法）注：当rs时，K为方阵，可当作定理使用；13.①、对矩阵mnA，存在nmQ，mAQE()rAm、Q的列向量线性无关；②、对矩阵mnA，存在nmP，nPAE()rAn、P的行向量线性无关；14.12,,,s线性相关存在一组不全为0的数12,,,skkk，使得11220sskkk成立；（定义）1212(,,,)0ssxxx有非零解，即0Ax有非零解；12(,,,)srs，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15.设mn的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组0Ax的解集S的秩为：()rSnr；16.若*为Axb的一个解，12,,,nr为0Ax的一个基础解系，则*12,,,,nr线性无关；5、相似矩阵和二次型1.正交矩阵TAAE或1TAA（定义），性质：①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0Tijijaaijnij；②、若A为正交矩阵，则1TAA也为正交阵，且1A；③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2.施密特正交化：12