2012届中考数学一元二次方程复习课件15

第2讲一元二次方程①一元二次方程及其解法；②一元二次方程根的判别式；③一元二次方程根与系数的关系．1．(2009·丽水)用配方法解方程x2－4x＝5时，方程的两边同时加上________，使得方程左边配成一个完全平方式．解析：所加常数项是一次项系数一半的平方．答案：42．(2009·温州)方程(x－1)2＝4的解是________．解析：利用直接开平方法解一元二次方程．答案：x1＝3，x2＝－13．(2008·丽水)一元二次方程(x＋6)2＝5可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是x＋6＝5，则另一个一次方程是________．解析：开平方法．答案：x＋6＝－54．(2008·嘉兴)方程x2－3x＋1＝0的解是________．解析：利用配方法或公式法解一元二次方程．答案：x1＝3＋52，x2＝3－525．(2010·台州)某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为________．答案：120(1－x)2＝1006．(2008·温州)我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法，请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.解析：选③利用因式分解法来解，∵x2－3x＝0，∴x(x－3)＝0，∴x＝0或x－3＝0，∴x1＝0，x2＝3.知识点一一元二次方程的定义在整式方程中，只含有一个未知数，并且含未知数项的最高次数是2，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．知识点二一元二次方程的常用解法1．直接开平方法：如果x2＝a(a≥0)，则x＝±a，则x1＝a，x2＝－a.2．配方法：如果x2＋px＋q＝0且p2－4q≥0，则x＋p22＝－q＋p22.x1＝－p2＋－q＋p22，x2＝－p2－－q＋p22.3．公式法：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)且b2－4ac≥0，则x＝－b±b2－4ac2a.4．因式分解法：若ax2＋bx＋c＝(ex＋f)(mx＋n)，则ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝－fe，x2＝－nm.知识点三列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步．知识点四一元二次方程根的判别式关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac.1．b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则x1,2＝－b±b2－4ac2a；2．b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，即x1＝x2＝－b2a；3．b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．类型一一元二次方程及相关问题(1)方程x2＋x－1＝0的一个根是()A．1－5B.1－52C．－1＋5D.－1＋52(2)已知一元二次方程x2＋x－2＝0，下列判断正确的是()A．该方程有两个相等的实数根B．该方程有两个不相等的实数根C．该方程无实数根D．该方程根的情况不确定(3)已知方程x2－5x＋2＝0的两个解分别为x1、x2，则x1＋x2－x1·x2的值为()A．－7B．－3C．7D．3【点拨】(1)本题考查一元二次方程的根，可采用代入法验证，也可解一元二次方程求根．(2)考查一元二次方程根的判别式．(3)考查一元二次方程根与系数之间的关系.【答案】(1)D(2)B(3)D类型二一元二次方程的解法解方程：(x－3)2＋4x(x－3)＝0.【点拨】本组题考查一元二次方程的解法：①直接开平方法；②配方法；③公式法；④因式分解法．【解答】(1)(x－3)2＋4x(x－3)＝0，(x－3)(x－3＋4x)＝0，(x－3)(5x－3)＝0，∴x－3＝0或5x－3＝0.∴x1＝3，x2＝35.类型三一元二次方程的应用(1)上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元．下面所列方程中正确的是()A．168(1＋a%)2＝128B．168(1－a%)2＝128C．168(1－2a%)＝127D．168(1－a2%)＝128(2)长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．①求平均每次下调的百分率；②某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？【点拨】(2)题考查一元二次方程的应用，解决实际问题时，要善于读取题中信息，找出表示题目全部意义的等量关系，最后对所得结果要检验其合理性．【解答】(1)B(2)解：①设平均每次下调的百分率是x，依题意，得5000(1－x)2＝4050解得x1＝10%，x2＝1910.(不合题意，舍去)答：平均每次降价的百分率为10%.(2)方案①的房款是：4050×100×0.98＝396900(元)方案②的房款是：4050×100－1.5×100×12×2＝401400(元)∵396900401400，∴选方案①更优惠．1．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是________．【解析】由一元二次方程有实数根，则12－4(m－1)≥0，且m－1≠0.∴m≤54且m≠1.【易错警示】漏掉m－1≠0的条件．2．方程x2－2x－1＝0的两个实数根分别为x1、x2，则(x1－1)(x2－1)＝________.【解析】由一元二次方程根与系数的关系得x1＋x2＝2，x1·x2＝－1.所以原式＝x1·x2－(x1＋x2)＋1＝－1－2＋1＝－2.【易错警示】记错根与系数的关系，x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ca.1．方程x2－3＝0的根是()A．x＝3B．x1＝3，x2＝－3C．x＝3D．x1＝3，x2＝－3答案：D2．下列四个说法中，正确的是()A．一元二次方程x2＋4x＋5＝22有实数根B．一元二次方程x2＋4x＋5＝32有实数根C．一元二次方程x2＋4x＋5＝53有实数根D．一元二次方程x2＋4x＋5＝a(a≥1)有实数根答案：D3．一元二次方程x2＋x－2＝0的两根之积是()A．－1B．－2C．1D．2答案：B4．如果方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等实数根，则实数a的取值范围是________．答案：a1且a≠05．已知x1＝－1是方程x2＋mx－5＝0的一个根，求m的值及方程的另一根x2.解：由题意得(－1)2＋(－1)×m－5＝0，解得m＝－4.当m＝－4时，方程为x2－4x－5＝0.解得，x1＝－1，x2＝5.所以方程的另一根x2＝5.6．在国家宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的14000元/m2下降到5月份的12600元/m2.(1)问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？(参考数据：0.9≈0.95)(2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/m2？请说明理由．解：(1)设4、5两月平均每月降价的百分率为x，根据题意，得14000(1－x)2＝12600化简，得(1－x)2＝0.9.解得x1＝0.05，x2≈1.95(不合题意，舍去)．因此，4、5两月平均每月降价的百分率约为5%.(2)如果按此降价的百分率继续回落，估计7月份的商品房成交均价为12600(1－x)2＝12600×0.9＝1134010000.由此可知7月份该市的商品房成交均价不会跌破10000元/m2.一、选择题1．方程(x－3)(x＋1)＝x－3的解是()A．x＝0B．x＝3C．x＝3或x＝－1D．x＝3或x＝0解析：利用因式分解法求解．答案：D2．关于x的一元二次方程2x2－3x－a2＋1＝0的一个根为2，则a的值是()A．1B.3C．－3D．±3解析：代入法，把x＝2代入原方程得a＝±3.答案：D3．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5的过程中，配方正确的是()A．(x＋2)2＝1B．(x－2)2＝1C．(x＋2)2＝9D．(x－2)2＝9解析：考查配方法解一元二次方程．答案：D4．设a、b是方程x2＋x－2010＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为()A．2007B．2008C．2009D．2010解析：把x＝a代入原方程得a2＋a＝2010，利用根与系数的关系得a＋b＝－1，∴原式＝(a2＋a)＋(a＋b)＝2009.答案：C5．一元二次方程x2－5x＋6＝0的两根分别是x1、x2，则x1＋x2等于()A．5B．6C．－5D．－6解析：考查根与系数的关系x1＋x2＝－ba.答案：A6．已知方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是()A．abB.abC．a＋bD．a－b解析：代入法，把x＝－a代入原方程得a2－ab＋a＝0，∴a(a－b＋1)＝0，∴a－b＝－1，恒为常数．答案：D7．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则b2－4ac满足的条件是()A．b2－4ac＝0B．b2－4ac0C．b2－4ac0D．b2－4ac≥0解析：考查根的判别式，因有两个不相等的实数根，所以b2－4ac0.答案：B8．为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2.若每年的年增长率相同，则年增长率为()A．9%B．10%C．11%D．12%解析：设年增长率为x，则10(1＋x)2＝12.1，∴x＝10%.答案：B9．在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图如右图所示．如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是()A．x2＋130x－1400＝0B．x2＋65x－350＝0C．x2－130x－1400＝0D．x2－65x－350＝0解析：利用面积是5400cm2，可列方程(80＋2x)(50＋2x)＝5400，∴x2＋65x－350＝0.答案：B二、填空题10．已知关于x的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：________.解析：答案不唯一．答案：如x2＝1等11．方程x2－3x＋1＝0的解是________．解析：利用公式法解方程．答案：x1＝3＋52，x2＝3－5212．若一元二次方程x2－(a＋2)x＋2a＝0的两个实数根分别是3、b，则a＋b＝________.解析：利用根与系数的关系可得3＋b＝a＋2，3b＝2a，∴a＝3，b＝2，∴a＋b＝5.答案：513．已知x＝1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则m2＋2mn＋n2的值为________．解析：把x＝1代入原方程得m＋n＝－1，原式＝(m＋n)2＝1.答案：114．已知x1、x2为方程x2＋3x＋1＝0的两个实数根，则x21－3x2＋20＝________.解析：考查一元二次方程解的定义及根与系数的关系．答案：28三、计算题15．解方程：x2－6x－6＝0.解：(x－3)2＝15.x－3＝±15.∴x1＝3＋15，x2＝3－15.16．已知一元二次方程x2－2x＋m＝0.(1)若方程有两个实数根，求m的范围；(2)若方程的两个实数根为x1、x2，且x1＋3x2＝3，求m的值．解：(1)∵x2－2x＋m＝0有两个实数根．∴b2－4ac＝(－2)2－4×1·m＝4－4m≥0，∴m≤1.(2)∵x1、x2是x2－2x＋m＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝2.又x1＋3x2＝3，∴x1＝32，x2＝12，∴m＝x1x2＝32×12＝34.17．随着人们节能意识的增强，节能产品的销售量逐年增加．某商场