2014届高三数学一轮复习：数列求和

[知识能否忆起]一、公式法1．如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公比q的取值情况要分q＝1或q≠1.2．一些常见数列的前n项和公式：(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝；(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝；(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝.nn＋12n2n2＋n二、非等差、等比数列求和的常用方法1．倒序相加法如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，等差数列的前n项和即是用此法推导的．2．分组转化求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，等比数列的前n项和就是用此法推导的．4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．[小题能否全取]1．(2013·沈阳六校联考)设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则对任意正整数n，Sn＝()A.n[－1n－1]2B.－1n－1＋12C.－1n＋12D.－1n－12解析：因为数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列，所以Sn＝－1－－1n×－11－－1＝－1n－12.答案：D2．(2012·重庆模拟)数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n2，则an＝()A.13·2n－1B.12·3n－1C.12nD.n3n解析：法一：令n＝1，得a1＝12，排除A、D；再令n＝2，得a2＝16，排除C，故选B.法二：由a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n2，得a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝n－12(n≥2)，相减得3n－1an＝12，an＝12·3n－1.答案：B3．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为()A．2n－1＋n2－2B．2n＋n2－2C．2n＋1＋n2－2D．2n＋1＋n2解析：Sn＝21－2n1－2＋n1＋2n－12＝2n＋1－2＋n2.答案：C4．数列12×4，14×6，16×8，…，12n2n＋2，…的前n项和为________．解析：因an＝12n2n＋2＝141n－1n＋1则Sn＝141－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝141－1n＋1＝n4n＋1.答案：n4n＋15．(2013·宁波模拟)数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项和为________．解析：an＝n2＋3n＋2，bn＝1an＝1n2＋3n＋2＝1n＋1n＋2＝1n＋1－1n＋2，则{bn}的前10项之和为12－13＋13－14＋…＋111－112＝512.答案：512数列求和的方法(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．[例1](2011·山东高考)等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.分组转化法求和第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前2n项和S2n.[自主解答](1)当a1＝3时，不合题意；当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；当a1＝10时，不合题意．因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3，故an＝2·3n－1.(2)因为bn＝an＋(－1)nlnan＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，所以S2n＝b1＋b2＋…＋b2n＝2(1＋3＋…＋32n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n](ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n2n]ln3＝2×1－32n1－3＋nln3＝32n＋nln3－1.分组转化法求和的常见类型(2)通项公式为an＝bn，n为奇数，cn，n为偶数的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．1．已知函数f(x)＝2x－3x－1，点(n，an)在f(x)的图像上，an的前n项和为Sn.(1)求使an0的n的最大值．(2)求Sn.解：(1)∵点(n，an)在函数f(x)＝2x－3x－1的图像上，∴an＝2n－3n－1.∵an0，∴2n－3n－10.即2n3n＋1.又∵n∈N＋，∴n≤3，即n的最大值为3.(2)∵an＝2n－3n－1∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(21－3×1－1)＋(22－3×2－1)＋…＋(2n－3×n－1)＝(21＋22＋…＋2n)－3(1＋2＋3＋…＋n)－n＝21－2n1－2－3·nn＋12－n＝2n＋1－n3n＋52－2.[例2](2012·江西高考)已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k(其中c，k为常数)，且a2＝4，a6＝8a3.(1)求an；(2)求数列{nan}的前n项和Tn.错位相减法求和[自主解答](1)由Sn＝kcn－k，得an＝Sn－Sn－1＝kcn－kcn－1(n≥2)．由a2＝4，a6＝8a3，得kc(c－1)＝4，kc5(c－1)＝8kc2(c－1)，解得c＝2，k＝2，所以a1＝S1＝2，an＝kcn－kcn－1＝2n(n≥2)，于是an＝2n.(2)Tn＝i＝1niai＝i＝1ni·2i，即Tn＝2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n.Tn＝2Tn－Tn＝－2－22－23－24－…－2n＋n·2n＋1＝－2n＋1＋2＋n·2n＋1＝(n－1)2n＋1＋2.用错位相减法求和应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．2．(2013·济南模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝3n＋k.(1)求k的值及数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足an＋12＝(4＋k)anbn，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1＝3n＋k－3n－1－k＝2·3n－1，得等比数列{an}的公比q＝3，首项为2.∴a1＝S1＝3＋k＝2，∴k＝－1，∴数列{an}的通项公式为an＝2·3n－1.(2)由an＋12＝(4＋k)anbn，可得bn＝n2·3n－1，即bn＝32·n3n.∵Tn＝3213＋232＋333＋…＋n3n，∴13Tn＝32132＋233＋334＋…＋n3n＋1，∴23Tn＝3213＋132＋133＋…＋13n－n3n＋1，∴Tn＝9412－12·3n－n3n＋1.裂项相消法求和[例3]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝nan－n(n－1)(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.[自主解答](1)∵Sn＝nan－n(n－1)，当n≥2时，Sn－1＝(n－1)·an－1－(n－1)(n－2)，∴an＝Sn－Sn－1＝nan－n(n－1)－(n－1)an－1＋(n－1)·(n－2)，即an－an－1＝2.∴数列{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列，故an＝1＋(n－1)·2＝2n－1，n∈N*.(2)由(1)知bn＝2anan＋1＝22n－12n＋1＝12n－1－12n＋1，故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n－1－12n＋1＝1－12n＋1＝2n2n＋1.本例条件不变，若数列{bn}满足bn＝1Sn＋n，求数列{bn}的前n项和Tn.解：Sn＝nan－n(n－1)＝n(2n－1)－n(n－1)＝n2.bn＝1Sn＋n＝1n2＋n＝1nn＋1＝1n－1n＋1，Tn＝11－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.利用裂项相消法求和应注意(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}是等差数列，则1anan＋1＝1d1an－1an＋1，1anan＋2＝12d1an－1an＋2.3．(2012·“江南十校”联考)在等比数列{an}中，a10，n∈N*，且a3－a2＝8，又a1、a5的等比中项为16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log4an，数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得1S1＋1S2＋1S3＋…＋1Snk对任意n∈N*恒成立？若存在，求出正整数k的最小值；不存在，请说明理由．解：(1)设数列{an}的公比为q，由题意可得a3＝16，∵a3－a2＝8，则a2＝8，∴q＝2.∴an＝2n＋1.(2)∵bn＝log42n＋1＝n＋12，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝nn＋34.∵1Sn＝4nn＋3＝431n－1n＋3，∴1S1＋1S2＋1S3＋…＋1Sn＝4311－14＋12－15＋13－16＋…＋1n－1n＋3＝431＋12＋13－1n＋1－1n＋2－1n＋3229，∴正整数k的最小值为3.数列求和是高考的重点，题型以解答题为主，主要考查等差、等比数列的求和公式，错位相减法及裂项相消求和；数列求和常与函数、方程、不等式联系在一起，考查内容较为全面，在考查基本运算、基本能力的基础上又注重考查学生分析问题、解决问题的能力．“大题规范解答——得全分”系列之(五)利用错位相减法解决数列求和的答题模板[动漫演示更形象，见配套光盘][典例](2012江西高考·满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn＝－12n2＋kn，k∈N*，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，求an；(2)求数列9－2an2n的前n项和Tn.[教你快速规范审题]1．审条件，挖解题信息观察条件―→Sn＝－12n2＋kn及Sn的最大值为8nSn是于的二次函关数当n＝k时，Sn取得最大值2．审结论，明解题方向观察所求结论―→求k的值及an――――→应建立关于k的方程Sn的最大值为8，即Sk＝8，k＝4nS可求的表式达Sn＝－12n2＋4n3．建联系，找解题突破口根据已知条件，可利用an与Sn的关系求通项公式―――――→注意公式的使用条件an＝Sn－Sn－1＝92－nn≥2，a1＝S1＝72――――――→验证n＝1时，an是否成立an＝92－n1．审条件，挖解题信息观察条件―→an＝92－n及数列9－2an2n922nna可化列简数9－2an2n＝n2n－