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目录退出第2讲合情推理与演绎推理目录退出考纲展示考纲解读1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单的演绎推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.从近两年的高考试题来看,归纳推理、类比推理、演绎推理等问题是高考的热点,归纳推理、类比推理大部分在填空题中出现,为中低档题,突出“小而巧”的特点,主要考查类比推理、归纳推理的能力;演绎推理大多出现在解答题中,为中高档题目,在知识交汇点处命题,考查学生的逻辑推理能力,以及分析问题、解决问题的能力.目录退出目录退出1.合情推理(1)归纳推理①归纳推理:根据某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.归纳推理是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上,提出带有规律性的结论.归纳推理是由部分到整体、从个别到一般的推理.通常归纳的个体数目越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法.目录退出归纳推理的前提必须是真实的,否则,归纳就失去了意义.虽然归纳推理的前提是真实的,但结论却未必真实,可能为假.尽管如此,归纳推理仍是进行数学发现的重要方法.目录退出②归纳推理的一般步骤:a.通过观察个别情况发现某些相同性质;b.从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想);c.检验猜想.目录退出(2)类比推理①类比推理:根据两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,叫做类比推理(简称类比).简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.运用类比推理,通过对一些类似现象、过程的对比分析,可能在看似互不关联的当然、偶然信息中发现规律性的必然信息.目录退出类比推理是寻找事物之间的共同或相似性质,是一种似真推理,结论不一定正确.类比推理的结论需要进一步证明其正确性,类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠.目录退出②类比推理的一般步骤:a.找出两类事物之间的相似性或一致性;b.用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);c.检验猜想.(3)合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.目录退出2.演绎推理(1)演绎推理:根据一般性的原理,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理叫做演绎推理.演绎推理是由一般到特殊的推理.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.目录退出为了语言简洁,我们说话、写文章用到的三段论大都采取了省略形式,有的省略大前提,有的省略小前提,有的省略不言而喻的结论.演绎推理的前提与结论间的联系是必然的,也就是说,前提真实,推理形式正确,结论就必然是真的.目录退出(3)三段论推理的依据(用集合的观点来理解)若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.(1)合情推理是从已知的结论推测未知的结论,发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明.(2)演绎推理是由一般到特殊的推理,它常用来证明和推理数学问题,注意推理过程的严密性,以及书写格式的规范性.目录退出1.推理“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③三角形不是矩形”中的小前提是()A.①B.②C.③D.①和②【答案】B【解析】由演绎推理“三段论”可知,①是大前提,②是小前提,③是结论.目录退出2.给出下列三个类比:①(ab)n=anbn与(a+b)n类比,则有(a+b)n=an+bn;②loga(xy)=logax+logay与sin(α+β)类比,则有sin(α+β)=sinαsinβ;③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比,则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.其中结论正确的个数是()A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】类比③中结论正确.目录退出3.如下图所示的一串白黑相间排列的珠子,按这种规律往下排起来,那么第36颗珠子应是什么颜色的?()A.白色B.黑色C.白色可能性大D.黑色可能性大【答案】A【解析】每5颗珠子循环一次,第36颗珠子正好是一个循环的开始,应是白色.目录退出4.(2013届·山东临沂月考)已知x0,由不等式x+1𝑥≥2𝑥·1𝑥=2,x+4𝑥2=𝑥2+𝑥2+4𝑥2≥3𝑥2·𝑥2·4𝑥23=3,…,我们可以得出推广结论:x+𝑎𝑥𝑛≥n+1(n∈N*),则a等于()A.2nB.n2C.3nD.nn【答案】D【解析】再续写一个不等式:x+33𝑥3=𝑥3+𝑥3+𝑥3+33𝑥3≥4𝑥3·𝑥3·𝑥3·33𝑥34=4,由此可得a=nn.目录退出5.(2012·福建福州模拟)在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为.【答案】1∶8【解析】由题意知,在平面上,两个相似的正三角形的面积比是边长比的平方.由类比推理知,体积比是棱长比的立方,即可得它们的体积比为1∶8.目录退出目录退出T题型一归纳推理例1观察下列等式:1=1,1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,1+2+3+4+5=15,13=1,13+23=9,13+23+33=36,13+23+33+43=100,13+23+33+43+53=225.可以推测:13+23+33+…+n3=(n∈N*,用含有n的代数式表示).目录退出第二列的右端分别是12,32,62,102,152,与第一列比较可得.【答案】14n2(n+1)2【解析】第二列等式的右端分别是1×1,3×3,6×6,10×10,15×15,∵由1,3,6,10,15,…可知第n项an与第n-1项an-1(n≥2)的差为an-an-1=n,∴a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,an-an-1=n.∵上面各式相加可得an=a1+2+3+…+n,其中a1=1,∴an=1+2+3+…+n,即an=𝑛(𝑛+1)2.故𝑎𝑛2=14n2(n+1)2.目录退出所谓归纳,就是由特殊到一般,因此在归纳时就要分析所给条件之间的变化规律,从而得到一般结论.目录退出1.已知:f(x)=𝑥1-𝑥,设f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1[fn-1(x)](n1且n∈N*),则f3(x)的表达式为,猜想fn(x)(x∈N*)的表达式为.【答案】f3(x)=𝑥1-22xfn(x)=𝑥1-2𝑛-1x(n∈N*)【解析】由f1(x)=f(x)和fn(x)=fn-1[fn-1(x)](n1且n∈N*),得f2(x)=f1[f1(x)]=𝑥1-𝑥1-𝑥1-𝑥=𝑥1-2𝑥,f3(x)=f2[f2(x)]=𝑥1-2𝑥1-2𝑥1-2𝑥=𝑥1-22x,…,由此猜想fn(x)=𝑥1-2𝑛-1x(n∈N*).目录退出T题型二类比推理例2在Rt△ABC中,若∠C=90°,则cos2A+cos2B=1.试在立体几何中,给出四面体性质的猜想.考虑到平面中的图形是直角三角形,因此我们在空间选取有3个面两两垂直的四面体P-A'B'C',且三个面与面A'B'C'所成的二面角分别是α,β,γ.目录退出【解】如图(1),在Rt△ABC中,cos2A+cos2B=𝑏𝑐2+𝑎𝑐2=𝑎2+𝑏2𝑐2=1.于是把结论类比到如图(2)所示的四面体P-A'B'C'中,我们猜想,三棱锥P-A'B'C'中,若三个侧面PA'B',PB'C',PC'A'两两互相垂直且分别与底面所成的角为α,β,γ,则cos2α+cos2β+cos2γ=1.目录退出(1)类比是从已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以已有的认识为基础,类比出新的结果;(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性;(3)类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它却有发现的功能.目录退出2.在平面几何里,有“若△ABC的三边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,则三角形面积为S△ABC=12(a+b+c)r”,拓展到空间,类比上述结论,“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球的半径为r,则四面体的体积为”.【答案】V四面体ABCD=13(S1+S2+S3+S4)r【解析】三角形的面积类比为四面体的体积,三角形的边长类比为四面体四个面的面积,内切圆半径类比为内切球的半径.二维图形中12类比为三维图形中的13,得V四面体ABCD=13(S1+S2+S3+S4)r.目录退出T题型三演绎推理例3已知函数f(x)=-𝑎𝑎𝑥+𝑎(a0且a≠1),(1)证明函数y=f(x)的图象关于点12,-12对称;(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.证明本题依据的大前提是中心对称的定义,小前提是f(x)=-𝑎𝑎𝑥+𝑎(a0且a≠1)的图象关于点12,-12对称,利用两个前提可以求f(x)+f(1-x)=-1的值.目录退出【解】(1)证明:∵函数f(x)=-𝑎𝑎𝑥+𝑎(a0且a≠1)的定义域为R,∴可任取一点(x,y),它关于点12,-12对称的点的坐标为(1-x,-1-y).由已知得y=-𝑎𝑎𝑥+𝑎,则-1-y=-1+𝑎𝑎𝑥+𝑎=-𝑎𝑥𝑎𝑥+𝑎.∵f(1-x)=-𝑎𝑎1-𝑥+𝑎=-𝑎𝑎𝑎𝑥+𝑎=-𝑎·𝑎𝑥𝑎+𝑎·𝑎𝑥=-𝑎𝑥𝑎𝑥+𝑎,∴-1-y=f(1-x),即函数y=f(x)的图象关于点12,-12对称.(2)∵由(1)可知-1-f(x)=f(1-x),∴f(x)+f(1-x)=-1.因此f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1.故f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.目录退出演绎推理最重要、最常见的形式是三段论,它由大前提、小前提、结论三部分组成.其推理的依据用集合论的观点来讲就是:若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的子集,那么S中所有元素都具有性质P.三段论推理中包含三个判断:第一个判断称为大前提,它提供了一个一般的原理;第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况.这两个判断联合起来,揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断:结论.只要前提和推理形式正确,结论就必定正确.目录退出3.两条直线相交,对顶角相等,∠A和∠B是对顶角,则∠A=∠B,该证明过程中大前提是,小前提是,结论是.【答案】两条直线相交,对顶角相等∠A和∠B是对顶角∠A=∠B【解析】大前提:两条直线相交,对顶角相等.小前提:∠A和∠B是对顶角.结论:∠A=∠B.目录退出解题策略例说类比推理类比推理的一般形式:因为A对象具有abcd属性,B对象具有abc属性,所以B对象很可能具有d属性.上述中的A和B,代表的可以是两个个别的具体事物,也可以是两类事物.目录退出一、低维与高维类比例1在平面几何里,由勾股定理:“设△ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三侧面两两互相垂直的三棱锥A-BCD的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是.目录退出【答案】𝑆△𝐴𝐵𝐶2+𝑆△𝐴𝐶𝐷2+𝑆△𝐴𝐷𝐵2=𝑆△𝐵𝐶𝐷2【解析】勾股定理揭示了直角三角形中三边的平方关系,在三棱锥中由三侧面两两互相垂直,可知三侧面为直角三角形,首先想到的是三条侧棱是否满足勾股定理,结论是否定的.其次想到的是三个侧面的面积是否满足勾股定理的形式,如:�