23二项式定理

二项式定理基础知识11121133114641研究(a+b)n的展开式1.在n=1,2,3,4时，研究(a+b)n的展开式.(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=？2.规律:(1)展开式各项次数有什么特点？(2)展开式各项系数有什么特点？n次齐次式a降次，b升次(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4如何求(a+b)n的展开式(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋2ab＋b2(a＋b)3＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3共有四项a3:a2b:同理，ab2有个；b3有个；每个括号都不取b的情况有一种，即种，相当于有一个括号中取b的情况有种，C31C310C30C3C32C33所以a2b的系数是所以a3的系数是303aCbaC213223abC333bC202aCabC12222bC共有三项)ba)(ba)(ba)(ba()ba(4++++=+432234babbabaa（）（）（）（）（）++++=44433422243144044bCabCbaCbaCaC)ba(++++=+如何求(a+b)n的展开式4.一般地，(a+b)n=?nnnkknknnnnnnbCbaCbaCaCba+++++=+110)(3.二项式定理(1)每一项的系数(k=0,1,2,…,n)叫做该项的二项式系数(2)叫做二项展开式的通项，表示第k+1项,记作Tk+1(a＋b)n的二项展开式,共有n+1项knCkn-kknbaC(3)若取a=1,b=x则得一个重要公式：nnnkknnnnxCxCxCCx+++++=+101)(1、二项式系数规律nn2n1n0nCCCC、、、、2、指数规律（1）各项的次数均为n；（2）字母a的次数由n降到0，字母b的次数由0升到n.3、项数规律二项展开式共有n+1项4、通项公式kknknkbaCT+=1二项式定理规律二项式定理简单运用是否存在常数项？并问展开式中的系数的展开式中求项的二项式系数与系数项的系数、倒数第第项的二项式系数、的展开式的第求求下列式子的展开式：,..)(.)(;)(.39764134442121221111xxxxxxx++1、区别“二项式系数”与“系数”2、第k项不是Cnkan-kbk3、一般解题先研究通项完成课本31页练习二项式定理“杨辉三角形”与二项式系数的性质引例：从排列组合“定序”问题说起如图某城市中P，Q两地有整齐的矩形道路网，从Q地到P地共有多少种最近的走法？QP可以推出Q到每一个节点的步数，如图所示，你发现了什么规律？杨辉三角形01C11C221202CCC33231303CCCC4434241404CCCCCn=0n=1n=2n=3n=4n=5n=6伟大的数学家杨辉，字谦光，钱塘(今杭州)人，中国古代数学家和数学教育家。由现存文献可推知，杨辉担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带，他署名的数学书共五种二十一卷。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。与秦九韶、李治、朱世杰并趁称宋元数学四大家。治学品质杨辉出游，遇童阻道，使人问之，乃知其遇难而不得解，辉奇之，细问。小童乃东村破烂王之子，家境贫寒，无上学之资，虽则聪慧终未能入室听诲，唯偷听于墙角。师每出题，童必求当日解决，不留问题到天明。然此日师出一题，小童深感棘手，于是忘情之处于道中演练，为防异处而忘，故坚不让道。辉愈奇，问其题，乃《大戴礼》书中所载之九宫图：1-9个数字，放在3*3的表格中，要求横竖斜之和相等。辉趣之，与童共演之，时至正午方毕。辉感其童向学之心，亦惑其师。翌日，资童拜其师，与其师共餐一顿，相谈甚欢。归，虑思良久，终想出一般方法，并推广至16宫，并N宫图，易数图、衍数图等。后杨辉把这些图总称为纵横图，收于数学著作《续古摘奇算法》中，流传于世。在现代组合学，计算机科学中有着重要应用。由杨辉三角形研究二项式系数的性质nnnnnn,C,,C,CCba210次是：展开式的二项式系数依)(+rnCrf=)(令定义域{0,1,2,…,n}当n=6时,其图象是7个孤立点61420O63rf(r)问题：观察杨辉三角形，你能发现二项式系数的哪些性质？二项式系数的性质1.对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.mnnmnCC=图象的对称轴：2nr=在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.rnrnrnCCC+=+11二项式系数的性质2.增减性与最大值：kkknnnnCkn+=)!())...()((1121kknCkn11+=.决定的增减情况由相对于所以kknCCknkn11+2111++nkkkn由二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。时当21+nk2nnC当n是偶数时，中间的一项取得最大值；21+nnC21nnC当n是奇数时，中间的两项，相等，且同时取得最大值。实质：数列的单调性与数列的最大项问题二项式系数的性质3.各二项式系数的和4.在奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即得：在二项式定理中，令1==bannnnnnCCCC2210=++++这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：nba)(+n215314202=+++=+++nnnnnnnCCCCCC重要方法：赋值法更多探究……从杨辉三角中一个确定的数的“左（右）肩”出发，向右（左）上方作一条和左斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和有何特征？)(rnCCCCCrnrnrrrrrr=+++++++1121（第r+1条斜线）如图，写出斜线上各行数字的和，发现有什么规律？na)(321+=naaannn1，1，2，3，5，8，13，21．．．,著名的斐波那契数列．二项式定理分类习题研究二项式定理的逆向使用问题nnnnnCCCxxxxxxxxxx2421311251210121012512215110110151112123452345+++++++++++++++)()()()()())(()()()()())((.化简nnnnkknknknnnnnnnnkknknnnnnnbCbaCbaCaCbabCbaCbaCaCba)()()()(11110110++++=+++++=+二项展开式指定项的系数问题...)(;)()(,.项的系数及二项式系数求展开式中系数成等差数列，的展开式中，前三项的已知项求第项的系数求展开式中第项的二项式系数；求展开式中第已知二项式xxxxxn+213434241323210◆区分三个概念：项、项的系数、项的二项式系数；二项展开式的特定项问题.)()(,..)()(..)()(.的有理项展开式中所有一次幂的项；展开式中含求：等差数列展开式中前三项系数成若的项求含；求项为常数项的展开式中第已知的项求展开式中含项；证明展开式中没有常数，：项的系数的比是项的系数与第的展开式中第若xxxxxnxxxxxnnn21216216352111035244233232+.,,项不是第项是第注意解题抓住通项kkbaCbaCTkn-kknkn-kknk11+=+三项式、多项式问题...,)().(..展开式中的常数项求求的展开式的常数项为若展开式中的常数项；求的一次项的系数的展开式中求523521339202122118237+++++xxxnxxxxxxxn◆多项式问题的方法:①转化为二项式来展开；②利用多项式的乘法法则展开；③对多项式先变形化简，再展开；④利用加法原理和乘法原理来求指定项的系数.探究对于一个立体网络图路径最佳个数怎么找？如何进行抽象？进一步，(x+y+z)6展开式中x3y2z的系数是多少？(2x+y+3z)6展开式中x3y2z的系数是多少？展开式的系数和问题.)(;)(;)(;)(;)(,).(.)(;)(;)(;)(,)(.10010299312100209953110032101001002210100721064207531721016677754321321143211310aaaaaaaaaaaaaaaaaaxaxaxaaxaaaaaaaaaaaaaaaaxaxaxax+++++++++++++++++++++=+++++++++++++++++=求求若21-1,21-1)();()()(fffffxf+偶数项系数和为奇数项系数和为的各项系数和为多项式常见的赋值方法：211展开式的系数和问题.)(;)(;)(,)(.8765432108642082188221083211312aaaaaaaaaaaaaaaaaxaxaxaax+++++++++++++++=求设展开式系数最大项的问题.)()()()(,..,).(.)()()(,)(.求系数最小的项求系数最大的项；；求二项式系数最大的项是第几项？系数的绝对值最大的项的展开式中在最大的项式系数最大的项和系数求展开式中二项项的系数相等项与第的展开式中第系数最大的项系数绝对值最大的项；二项式系数最大的项；求的展开式中在432121576211432123138220+xxxyxn◆求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项，n为偶数时中间一项.◆设Tk+1的系数为Ak+1，求系数最大的项，可通过解不等式组Ak+1≥Ak且Ak+1≥Ak+2求得.近似计算、整除及余数问题..........)(.*)(...001099802100109971209191263331182545321710011116652727227127132210的近似值，使误差小于求的近似值精确到求的余数除以求的偶数为大于整除能被求证：整除能被求证：整除能被用二项式定理证明CCCSnNnnnnn+++=++++++◆利用二项式定理证明整除问题，关键是将所给多项式通过恒等变形为二项式形式，使其展开后的各项均含有除式(除数).◆利用二项式定理进行近似计算，关键是确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度.证明与不等式放缩问题).,(....*..)(;)(.NnnnnnanaanNnnnCCCCnCkCnnnnnnnnnnnnknkn+=+=++++=21222512243112232322122132111求证：，求证：的通项数列，都有求证：对一切证明：◆用二项式定理进行放缩证明不等式的常见方法：(1)保留前面若干项或保留前后对称的若干项；(2)对通项进行放缩，再利用数列求和的知识.