大学物理第三章动量与角动量

1第三章动量与角动量（MomentumandAngularMomentum）教学要求:1)理解动量,冲量,角动量的概念及它们的矢量性.2)掌握及应用动量定理,动量守恒定律以及质点的角动量守恒定律来计算力学问题.3)理解质心的概念,了解质心运动定理.2§3.1冲量与动量定理牛顿定律是瞬时的规律。——力在任意时刻的作用，是使质点产生加速度，运动状态发生变化。但在有些问题中，如：碰撞（宏观）、散射（微观）…我们往往只关心力的作用按时间累积起来的总的效果，即只关心始末态间的关系，对过程的细节不感兴趣。力在时间上的积累效应：角动量冲量矩，改变转动动量冲量，改变平动31、冲量（impulse）大小：方向：速度变化的方向单位：N·s量纲：MLT－1说明•冲量是表征力持续作用一段时间的累积效应；•冲量是矢量：大小和方向；•冲量是过程量，改变物体机械运动状态的原因。21ttdtFI＝t1F0tt2dtF定义:力对一段时间的积累微分形式:ptFIddd42、动量（momentum）定义：物体的质量与速度的乘积叫做物体的动量vmP说明:•动量是矢量，大小为mv，方向就是速度的方向；冲量的方向不是与动量的方向相同，而是与动量增量的方向相同.•动量表征了物体的运动状态.•牛顿第二定律的另外一种表示方法•单位：kg·m·s-1•量纲：MLT－1dtPdvmdtddtvdmamF)(53、质点的动量定理（theoremofmomentumofaparticle）物理意义:在给定的时间间隔内，外力作用在质点上的冲量，等于该质点在此时间内动量的增量.12I2121PPdtFPdttPPdtFPddtPdF质点动量定理的微分形式质点动量定理的积分形式注:F为恒力时，可以得出I＝FtF作用时间很短时，可用力的平均值来代替。平均冲力tptttFFtt1221d冲力6说明:6.应用：利用冲力：增大冲力，减小作用时间——冲床避免冲力：减小冲力，增大作用时间——轮船靠岸时的缓冲1.动量定理将始末时刻的动量与冲量联系起来,而忽略细节变化；2.碰撞或冲击过程,牛顿第二定律无法直接使用,用动量定理解；3.变质量物体的运动过程,用动量定理较方便;4.动量定理说明质点动量的改变是由外力和外力作用时间两个因素，即冲量决定的;5.动量定理的分量式.zztzzyytyyxxtxxmvmvdtFImvmvdtFImvmvdtFI1212127应用举例:例1.例2.问题：人为什么从高处跳到地面时，要把腿弯一下？8例3.“船行八面风”---帆船靠风力推动前进，只要有风，不管风从什么方向吹来，都可借助风力前进。9帆v1v2v1v2Δv风F风对帆F横F进F横F阻龙骨F帆对风Δv10帆给风团的冲力为:方向向斜后方根据牛顿第三运动定律,风团对帆有一反作用力:FF帆对风可分解为两个分量//FF与水对船的垂直阻力相平衡与船平行,并指向船前进的方向11m/s26.6280.922ghvvmp2vmptF2地对球地对球球对地FFN1082.3019.026.658.0222tmv方向向上s019.0t球对地F例4.一篮球质量m=0.58kg,从h=2.0m的高度下落,到达地面后以同样速率反弹,接触地面时间。求：篮球对地面的平均冲力解：篮球到达地面的速率为：篮球接触地面前后动量改变（大小）为：由动量定理有：由牛顿第三定律有：12例5.在斜面上放着一个盛有细沙的箱子,在摩擦力的作用下箱子刚好不下滑.若有一物体m’从竖直方向坠入箱中,试问在该物体的冲力作用下,箱子是否还能保持静止?m’mgNfFα已知μs解:箱子是否下滑,决定于物体坠入箱子时,在冲力的作用下箱子的受力是否平衡.刚好不下滑时:tgcosmgfmgsinss当一物体竖直坠入箱中,在冲力作用下,时的瞬间应满足:ma)sinFsinmg()cosFcosmg(stgs代入得a=013§3.2质点系的动量定理（theoremofmometumofasystemofparticles）1、两个质点组成的系统ff’F1F2m1m2已知:碰撞前两质点的速度分别为2010和相碰时的相互作用内力为ff和同时受系统外其它物体的作用外力为21FF和碰撞后两质点的速度分别为21和对质点m1:dtPdfF11对质点m2:dtPdfF22两式相加,得14dtPddtPdffFF2121)mm()mm()PP(ddt)FF()PP(dtdFFff20210122112121tt212121意义:两个物体总动量的改变只决定于外力的冲量,而与内力无关.内力的冲量呢?只会使每一个物体的动量发生改变,但对总动量没有任何影响.)()(20210122112121vmvmvmvmdtFFtt＋152、多个质点组成的系统共有N个粒子为质点i受的合外力，iF为质点i受质点j的内力，ijfip为质点i的动量。对质点i：········ij质点系Fipifjifij········ij质点系iijijiptfFdd）（对质点系：iiiijijiptfFdd(）由牛顿第三定律有：iijijf016iiiiptFdd(）所以有：PpFFiiii，外令PtFdd外则有：tPFdd外或质点系动量定理（微分形式）1221dPPtFtt外质点系动量定理（积分形式）意义:作用在系统的合外力的冲量等于系统动量的增量17·系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。·用质点系动量定理处理问题可避开内力。说明:·质点系动量定理是一矢量式,因此在直角坐标系中它的分量式为:212121ttzzttyyttxxzzyyxxPdtFPdtFPdtFdtdPFdtdPFdtdPF或18例1：一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。ox证明：取如图坐标，设t时刻已有x长的柔绳落至桌面，随后的dt时间内将有质量为dx(Mdx/L)的柔绳以dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率为：dtdtdxdxdtdP19根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：2vdtdtdxdxdtdPF＝－＝柔绳对桌面的冲力F＝－F’即：L/Mgx2Fgx2vvLMvF222而而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg20例2:(page72)一辆装煤车以v=3m/s的速率从煤斗下通过,每秒钟落入车厢的煤为Δm=500kg.如果使车厢的速率保持不变,应用多大的牵引力拉车厢?Fvmdm21例3:质量为M的滑块正沿着光滑水平地面向右滑动.一质量为m的小球水平向右飞行,以速度(相对地面)与滑块斜面相碰,碰后竖直向上弹起,速度为(相对地面).若碰撞时间为,求:在这个过程中滑块对地面的平均作用力和滑块速度的增量.1v2vt22§3.3动量守恒定律（lawofconservationofmomentum）由动量定理：tdPdF外当一个质点系所受的合外力为0时，则有0dd＝tP即有：常矢量P动量守恒定律其分量形式：恒量恒量恒量zyxppp意义:当系统所受合外力为零时，即F外=0时，系统的动量的增量为零，即系统的总动量保持不变。23说明：1.动量定理和动量守恒定律只适用于惯性系。2.动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一切惯性系中均守恒。3.动量是矢量,因此动量守恒定律的数学表达式是一个矢量关系式。但在一些实际问题中,若系统所受的合外力不为0,但合外力沿着某个坐标轴的分量为0,则尽管总的动量不守恒,但总动量在这个方向上的分量却是守恒的。4.在合外力为0时,尽管质点系的总动量不变,但组成系统的各个质点的动量是可以变化的。245.无论相互作用力是什么力(重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力、分子作用力、核子作用力…)，动量守恒定律都适用。因此，动量守恒定律是一条大到星体间的作用,小到基本粒子间的作用的关于自然界一切物理过程的最基本定律。6.质点相互作用后,不论它们是结合在一起运动还是分开运动,不论是整体还是分裂成碎块,不论是接触作用还是超距作用,动量守恒定律都适用。7.系统动量守恒定律的条件是合外力为0,但在某些外力比内力小得多的情况下,外力对质点系的总动量变化影响很小,这时可以近似地认为它满足守恒条件,即可以近似地应用动量守恒定律来解题了。25解题步骤：1．选好系统，分析要研究的物理过程；2．进行受力分析，判断守恒条件；3．确定系统的初动量与末动量；4．建立坐标系，列方程求解；5．必要时进行讨论。26例1:一个有1/4圆弧滑槽的大物体,质量为M,停在光滑的水平面上;另有一质量为m的小物体从圆弧顶点由静止滑下.求当小物体滑到底时大物体M在水平面上移动的距离.RMmνVRSs27例2:水平光滑铁轨上有一车,长度为l,质量为m2，车的一端有一人(包括所骑自行车)，质量为m1，人和车原来都静止不动。当人从车的一端走到另一端时，人、车各移动了多少距离？28解：以人、车为系统，在水平方向上不受外力作用，动量守恒。建立如图所示的坐标系，有m1v1-m2v2=0即v2=m1v1/m2tttdtvmmmdtvmmmudtl01221012210在这段时间内人相对于地面的位移为lmmmdtvxt212011＋小车相对于地面的位移为lmmmxlx21112设人在时间t内从车的一端走到另一端，则有人相对于车的速度u=v1+v2=(m1+m2)v1/m229例3:在一次粒子散射过程中，粒子(m)和静止的氧原子核(M)发生碰撞。实验测出：碰撞后粒子沿与入射方向成的方向运动,而氧原子核沿与粒子的入射方向成的方向反冲，求粒子碰撞后与碰撞前的速率之比？724130§3.4变质量系统、火箭飞行原理▲粘附—主体的质量增加（如滚雪球）▲抛射—主体的质量减少（如火箭发射）低速（vc）情况下的两类变质量问题：下面仅以火箭飞行为例，讨论变质量问题。还有另一类变质量问题是在高速（vc）情况下，这时即使没有粘附和抛射，质量也可以随速度改变—m=m(v)，这是相对论情形，不在本节讨论之列。31条件：燃料相对箭体以恒速u喷出一.火箭不受外力情形（在自由空间飞行）1.火箭的速度公式系统：火箭壳体+尚存燃料32初态(喷出燃料前)：系统质量M，速度v(对地)，动量Mv微过程：tt+dt末态(喷出燃料后)：喷出燃料的质量：dm=-dM喷出燃料速度(对地)：v-u火箭壳体+尚存燃料的质量：M-dm火箭壳体+尚存燃料的速度(对地)：v+dv系统动量：(M-dm)(v+dv)+-dM(v-u)33由动量守恒，有Mv=-dM(v-u)+(M-dm)(v+dv)经整理得：Mdv=-udMMMuddvfiMMfiMMuddv速度公式：fiifMMulnvv此式意义:火箭在燃料燃烧后所增加的速度和喷气速度成正比,也和火箭的始末质量比的自然对数成正比.34引入火箭质量比：fiMMN得Nuiflnvv讨论：提高vf的途径(1)提高u（现可达u=4.1km/s）(2)增大N（受一定限制,决定于火箭本身的结构）为提高N，采用多级火箭（一般为三级）v=u1lnN1+u2lnN2+u3lnN3或齐奥尔科夫斯基数ifMMZ35t+dt时刻：速度v-u，动量dm(v-u)由动量定理，dt内喷出气体所受冲量2.火箭所