大学物理6刚体力学

第5章刚体力学初步前4章给出了质点运动状态变化的有关规律.本章介绍具有一定形状和大小物体的机械运动规律.既然任何物体都可看成是由大量质点组成的,那么前面的理论在本章中依然有效.§5.1刚体运动学§5.2刚体平动动力学§5.3质心与质心运动定律§5.4刚体绕定轴的转动§5.5角动量定理与角动量守恒定律§5.6定轴转动的动能定理与机械能守恒定律1.刚体物理模型:物体在运动和相互作用过程中,其大小和形状都不发生任何变化.推论:刚体内任意两点间的距离不变.2.刚体的运动§5.1刚体运动学刚体的一般运动=平动+定轴转动平动:在运动过程中,通过刚体内任一条直线的方位始终保持不变.特点:刚体平动时,内部各点运动情况完全相同.因此,描述质点运动的物理量(如位移、速度和加速度)均可用来描述刚体的运动.刚体内任意一点的平动可代表整个刚体的平动.转动:刚体运动时,各个质点都绕同一直线(转动轴)作同角速度的圆周运动.定轴转动:转轴固定不动的转动.质心轴:通过质心的转轴.v特点:定轴转动时,刚体转轴上各点保持不动.轴外各点在同一时间间隔dt内,移动的弧长虽然不同,但其角位移d却完全一样.因此,描述刚体的定轴转动可引入新的物理量,如角位移、角速度和角加速度.3.描述刚体转动的物理量角位移:在时间间隔t内,刚体上任一点相对于某一特定转轴转过的角度为.zxo特征:(1)角位移是相对于某一特定转轴而言的.(2)角位移不是矢量,它的合成与转动的先后次序有关,不符合矢量的加法交换律.xyzxyzxyzxyzxyzxyzki22ik22角位移不是矢量(3)瞬时角位移d符合矢量运算法则,为矢量.dxyzo角速度:大小为在某一时刻t附近的单位时间间隔内,刚体上任一点角位移的大小;其方向在转轴方位,可用右手螺旋法则确定.0dlimdtkktt特征:(1)角速度是矢量,它反映了刚体转动瞬时角位移随时间变化的规律.(2)定轴转动时,转轴的方向已经给定,角速度的方向可用正负表示,即满足标量运算法则.角加速度:在任意时刻t附近的单位时间间隔内,刚体转动角速度的变化量,其方向由矢量运算法则确定.0dlimdttt22ddddddtdtddtd对于定轴转动有:速度和角速度的关系:OrR'OvvP,以转轴上某点O为参考点vrsinωRvrr2dd()dddd()ddRnRtaωrttrωrωωrβrttRωeRβaeaeve加速度和角速度、角加速度的关系:ddωRωβdtRdt1vvRv22ddtnaRtaRRvv对于定轴转动有:定轴转动直线运动角位移φ位移x角速度ω速度v角加速度加速度a22000000222200112222tβtxxtatωωβtatωωβaxvvvvv=常数a=常数匀加速定轴转动匀加速直线运动§5.2刚体平动动力学刚体:质点间距离保持不变的质点系.质量元mi:在刚体上任取一质量元mi视为质点.质量元外力Fi:其它物体施于质量元mi的作用力.质量元内力fi:刚体内其它部分施于质量元mi的作用力.ΔiiiFfmai由牛顿力学有iiiFfmaiiii对所有质量元求和有12ia=aa=a且平动时有考虑到0ifi()Fmamaiiiiii所以Fma平动运动定律:刚体平动时,其运动规律与同质量的质点相同,受力等于刚体所受外力的矢量和.()iiiiFma§5.3质心与质心运动定律对刚体的任意运动,由牛顿第二定律有:iiiiiFma刚体任意运动时,作用在刚体上的合外力等于各个质量元的加速度与质量元乘积的矢量和.刚体任意运动时,每一质量元的加速度不一定相同,故上式无法确定每一质量元的加速度.但它可以确定刚体中一特殊点——质心的加速度.1.刚体的质心与质心运动定律222222ddddiixiixiiiiiiyiiyiiiiiiziiziiiixFmamtyFmamtdzFmamdt将上式写成直角坐标分量形式:222222dddiiiixiiiiiyiiiiizimxmFmdtmymFmdtmzmFmdt这三个量可确定刚体上某点c(xc,yc,zc),称为刚体的质量中心,简称质心.iiciiciicΔmxxmΔmyymΔmzzmiii若令cccxdmρxdVx==mmydmρydVy==mmzdmρzdVz==mm若质量连续分布,则有其中dV为质量元dm的体积.222222222222iicixcxiiciycyiicizczΔmxddxmFmmmadtdtΔmyddymFmmmadtdtΔmzddzmFmmmadtdtiiiiiiiciF=ma质心运动定律:刚体任意运动时,作用在刚体上的合外力等于刚体的质量与质心加速度的乘积.代入分量式可得2.刚体的重力势能piiiΔ=ΔEmghppiiiiiiii=Δ=ΔΔ==cEEmghmhmgmmghhc为刚体质心的高度,刚体的重力势能取决于其质心的高度.对任一质量元对整个刚体§5.4刚体绕定轴的转动1.转动定律刚体绕过O点且与投影面垂直的固定轴转动仅考虑所受的力与转轴垂直的情形.im刚体中任一质量元iF该质量元所受合外力fi该质量元所受合内力oimiriFifii由牛顿第二定律:iiiiF+f=ma写成分量形式:2(1)(2)iiiiiiniiiiiiiitiiFcosθ+fcos=ma=mrωFsinθ+fsin=ma=mrβ对(2)式乘以ri:2sinsiniiiiiiiiitiiFrfrmramr2sinsiniiiiiiiiiiiFrfrmr对i求和:2sinsiniiiiiiiiiiiFrfrmr0iiiifrsin=2iiiiiFrsinθβmriiiiiiM=FrsinθiiMI由内力的特性知故有称为外力Fi对转轴的力矩称为刚体对该转轴的转动惯量2iiiI=mr所以22ddddMIIItt定轴转动定律:刚体绕定轴转动时,作用在刚体上的合外力矩等于刚体对该转轴的转动惯量与角加速度的乘积.iiMIβ以表示合外力矩,则有MIβiMrFiiiiM2iiImri以矢量形式表示其中合外力矩转动惯量力矩指向在转轴方位2.力矩MrForFsinFcosFsinrR定义:力对某转轴的力矩,等于转轴到力作用点的矢径与作用力的叉乘.M=rFsinθ=FR特性:力矩是矢量;力矩的和不恒等于合力的力矩;每个分力的力矩与力的作用点有关.大小方向:由和的右手螺旋法则确定.rrFr3.转动惯量222ddiiiImrrmrV定义:特性:(1)转动惯量是标量,它是反映刚体转动惯性大小的物理量.(2)它是相对于某一特定转轴而言的.转轴不同,同一物体的转动惯量则不同.(3)它与刚体的质量和质量分布有关.(4)它符合加法结合律和交换律——和的转动惯量等于转动惯量的和.(5)转动惯量的平行轴定律:2cIImd(6)规则形状刚体相对于对称轴的转动惯量可直接计算求得,其它不规则刚体的转动惯量一般由实验测定.dmIIc4.转动惯量的计算xdxxo(1)垂直于细棒且通过质心轴的转动惯量.已知:棒长l,总质量m.2Ixdmml设棒的线密度为2222223201121212lllIxdmxdxxdxlml则有(2)均匀细圆环绕其对称轴的转动惯量.已知:半径R,总质量m.2222IrdmRdmRdmmRdmR(3)空心圆柱绕其对称轴的转动惯量.已知:内半径R1,外半径R2,高l,总质量m.2221mlRR（）rdrR1R2oldd2dmVrlr212344212212d2d()21()2RRIrmllrrRRmRR该式同样适用于薄圆盘设其密度为在半径为r处,取厚度为dr的薄层为质量元(4)均匀球体绕其对称轴的转动惯量.已知:球的半径为R,质量m.33(4)mR22rRx222dddVrxRxx（)ddmV22221ddd22IrmRxx（）方法1:取距球心为x处,厚度为dx、半径为r的薄圆盘为质量元设其质量密度为圆盘半径体积元质量元此圆盘的转动惯量dxxRr222222052dd2d82155RRRIIRxxRxxRmR（）（）22221ddd22IrmRxx（）薄圆盘的转动惯量那么,球体的转动惯量为方法2:2dsindddVrrddmV24324300052(sin)dsindddddsind82155zRIrmrrrrRmRddrrxyz在球坐标系中取体体积元质量元故球的转动惯量为转动惯量计算的一般步骤:mVddmVdV22ddIrmrVr==蝌2(,,)dddVIrxyzxyz43sindddVIrr质量密度为取体积元则质量元直角坐标系球坐标系转动惯量常见规则刚体的转动惯量薄圆盘212ImrrR1R2l圆柱22121()2ImRR细棒213Iml细棒2112Iml球体225ImR275ImR例1.求半经为R、质量为m的均匀圆环,对于沿直径转轴的转动惯量Rdmdr解:圆环的线密度为2mλπR在环上取长度元dS,相应的质量元dm,dm距转轴r,则dm=λdS=λRdθcosrRθ2222232d2cosd12IrmRθλRθRmR例4.在半径分别为R1和R2的阶梯形滑轮上反向绕有两根轻绳,分别悬挂质量为m1、m2的物体.如滑轮与轴间摩擦不计,滑轮转动惯量为I.求滑轮的角加速度β及两绳中的张力T1与T2.1m2m1R2R2mgm22T1mgm11T'2T'1Ty解:取向下为坐标轴的正方向,相应地顺时针转向亦为正方向.隔离体受力分析如图.由牛顿定律和转动定律列方程如下111122221122mgTmamgTmaTRTRI1122aRaR且线量与角量之间的关系式为1m2m1R2Ry22221211221122I+mR+mRRT=mgI+mR+mR21111222221122I+mR+mRRT=mgI+mR+mR1122221122mR-mRβ=gI+mR+mR联立求解得:例5.物体A、B的质量分别为m1和m2,用一轻绳相连,绳子跨过质量为M、半径为R的匀质定滑轮C.如A下降,B与水平桌面间的滑动摩擦系数为μ,且绳与滑轮之间无相对滑动,求系统的加速度及绳中的张力T1和T2.ABCyx解:建立如图坐标系,并取顺时针转向为正方向.隔离物体受力分析如下图.由牛顿定律和转动定律列出动力学方程:Nfgm22TBAgm11T'2T'1T1111mgTma22220TfmamgNfN12212TRTRIIMRxy12aaaR2222111121122TmgmamgTmaTRTRMR整理以上方程有:又由运动之间的联系可得:211122(1)2()mMTmgmmM122122(1)2()mMTmgmmM联立解得:12122()2()mmagmmM§5.5角动量定理与