大学物理-气体动理论

第二篇热学热学的研究对象：由大量微观粒子（原子、分子等）所构成的物质系统，称为热力学系统（系统）热学的内容划分：热学分为气体动理论和热力学。气体动理论：应用统计的方法推求系统宏观量与微观量统计平均值之间的关系。研究的是某一个状态。热力学：从能量出发，以大量实验观测为基础来研究物质的热运动的宏观基本规律及其应用。研究的是变化过程中的规律。热学的研究内容：热现象的宏观特征及其微观本质。第六章气体动理论研究对象：理想气体研究方法：统计方法研究内容：研究大量气体分子的热运动规律及其微观模型解释。一、平衡态：1、状态与过程：2、平衡态：系统在不受外界影响的条件下，宏观性质不随时间变化的状态。3、平衡态的特点：平衡态是实际情况的一种抽象和近似。是一种热动平衡。第一节理想气体的物态方程不受外界影响：既不做功也不传热。二、气体的状态参量1、体积V：宏观上讲体积表示容器的容积。微观上看是容器中分子所能够到达的区域。单位是立方米。2、压强P：宏观上看，压强表示容器内的气体对容器壁单位面积上的压力。微观上看，压强表示容器内分子热运动对容器壁单位面积上的平均冲力。单位：帕斯卡。1标准大气压=1.013×105Pa。3、温度T：宏观上看，温度表示系统的冷热程度。微观上看，表示气体热运动的剧烈程度。国际单位是：开尔文（K）。宏观上描写气体状态的参量有如下三个：三、理想气体物态方程：1、理想气体的定义：严格遵守玻意尔定律、盖-吕萨克定律、查里定律的气体叫理想气体。2、理想气体平衡态的状态方程（克喇伯龙方程）:RTpV其中R为普适气体常数118.31RJmolKAmolNNMM为气体的物质的量123mol1002.6ANAN为阿伏加德罗常数3、状态方程的其他形式：VNn分子数密度RTNNpVAnkTTNRVNpA玻尔兹曼常数123KJ1038.1kANRk第二节理想气体平衡态的压强与温度公式一、理想气体的微观模型：2、分子本身的大小与分子间平均距离相比可以忽略不计，分子可以看成是质点。3、除碰撞的瞬间外，分子间的相互作用力可忽略不计。因此在两次碰撞之间分子的运动可以当作匀速直线运动。气体分子与分子之间的碰撞以及分子与容器壁之间的碰撞可以看作是完全弹性碰撞。总之，理想气体可看作是一群彼此间无相互作用的无规运动的弹性质点的集合。1、分子永不停息地作无规则运动。二、平衡态的统计假设——等几率原理1、理想气体处于平衡态时，分子出现在容器内各处的几率相等。即分子数密度处处相等，具有分布的空间均匀性。2、分子朝各个方向运动的几率相等，具有运动的各向同性。0,0zyxvvvv0222zyxvvv推论：分子沿各个方向运动的速度分量的各种平均值应该相等。NvvvvNizyixzyx12),(2222222222zyxzyxvvvvvvv32222vvvvzyx结论：速度分量的方均值等于速度平方的平均值的三分之一。三、压强公式：1、压强的微观解释（伯努利）：大量气体分子单位时间内给予器壁单位面积上的平均冲力。2、推导过程：一次碰撞给予A的冲量为：ixmv2碰撞前的速度{}iziyixvvv,,碰撞后的速度{}iziyixvvv,,l1l2l3vAviximxyzl1l2l3mviAixvl/21--单位时间内该分子给予A冲量：12122lmvlvmvixixix--N个分子在单位时间给予A的总冲量：NiNiixixvlmlmv121112--分子在容器中x方向来回做速度为的匀速运动，假设在这期间没有与其它分子碰撞，与A发生的两次相邻碰撞的时间间隔（周期）iixv--单位时间内给予A的冲量即平均冲力：NiixvlmF12121xvNlm321vNlm--压强：32123lllvmNSFp22313vnmVvmNtEn32此即是理想气体的压强公式l1l2l3mviAtEnp32由理想气体的压强公式，可以看出压强取决于分子的数密度和分子平均平动动能。理想气体的压强公式适用于由大量分子构成的系统。且与容器的形状无关。理想气体的压强公式221122tEmvmv四、温度公式：kTEt23温度公式上式表明：温度是分子无规则热运动剧烈程度的反映，并且只具有统计意义，即只有当组成系统的分子数目很大时，温度才具有意义。几个分子构成的系统，温度是没有意义的。nkTp由理想气体的物态方程tEnp32及理想气体的压强公式第三节能量均分定理和理想气体的内能一、自由度1、自由度的定义：确定一个物体的位置所需要的独立坐标数，叫该物体的自由度。•飞机（看成质点）在天空飞行，自由度为3；•轮船（看成质点）在大海中航行，自由度为2；•火车（看成质点）在铁道上运行，自由度为1；结论：物体受到的约束越多,自由度就越小。2、单原子气体分子的自由度：i=33、刚性双原子气体分子的自由度：xyz325itr3个平动自由度（t）和2个转动自由度（r）。4、刚性多原子气体分子的自由度：33itr3个平动自由度和3个转动自由度。xyz二、能量按自由度均分定理1、分子的平均平动动能2222222212121)(2121zyxzyxtvmvmvmvvvmvmE根据平均平动动能的定义可知：由于222zyxvvv222232323zyxtvmvmvmE得kTvmvmvmzyx21212121222表明：当理想气体处于平衡态时，分子的每个平动自由度平均分得的能量。kT21kTEt23由理想气体的温度公式：222232323zyxtvmvmvmE与比较得：2、平动自由度均分的能量3、能量按自由度均分定理当理想气体处于平衡态时，分子的每个平动自由度和每个转动自由度平均分得的能量为。kT21分子的平均动能：rrtikTiE32三、理想气体平衡态的内能：1、内能的定义：系统中热运动能量的总和，叫系统的内能。用E表示。由于热运动在微观上看是分子的机械运动。所以系统的内能就是系统内分子的动能和势能之和。即：pkEEE由于任何物体的热运动是不可能停止的，所以内能不可能为零。热力学温度不能达到零度，只能接近零度。由于理想气体平衡态分子之间只有在碰撞时才有相互作用，因此没有考虑分子之间的势能存在；而且没有考虑原子间的振动；所以系统的内能只与分子的平均平动动能和平均转动动能相关。2iENENkT02iNkT2、理想气体平衡态的内能在平衡态下，能量按自由度均分，所以理想气体内能为：pViE2或2iRT例1.一容器内贮有理想气体氧气，压强p＝1.00atm，温度t＝27.0℃，体积V＝2.00m3。求：（1）氧分子的平均平动动能；（2）氧分子的平均转动动能；（3）氧分子的内能。解：氧分子为双原子分子，自由度i＝5，其中，平动自由度t＝3，转动自由度r＝2。由能量均分定理和理想气体的内能公式，可得：2253(1)3.8810eV22(2)2.5910eV2(3)5.0710J22trEkTEkTiiERTpV例题2、1摩尔温度为T1氢气与2摩尔温度为T2氦气混合后的温度为多少？解：混合前后内能相等就可以求解此题。氢气的自由度为5，氦气的自由度为3，则混合前的总内能为：2122325RTRTE前设混合后温度为T，则混合后的总内能为：RTRTE22325后混合前后内能相等，则有：116521TTT一、分子的速率分布1.离散分布第四节分子速率分布麦克斯韦速率分布律年龄人数/总人数18192021222.速率分布函数vf（v）vv+dv)(~~vfvdvNdN即dvvfNdN)(在平衡态下，设分子总数为N，速率在v~v+dv区间的分子数为dN个，那么表示：NdN——速率在v~v+dv区间的分子数占总分子数的比率。或一个分子速率处于v~v+dv区间的概率。称为分子的速率分布函数。其物理意义是：在速率v附近，单位速率区间内的分子数占总分子数的比率。或一个分子速率出现在v附近单位速率区间内的概率。)(vf)(vf所以也称为分子速率分布的概率密度。NdvdNvf)(得vf（v）vv+dv由dvvfNdN)(21()vvdNNfvdvNNv1到v2速率区间内的分子数占总分子数的比率。21()vvNfvdvdNNv1到v2速率区间内的分子数。0()1dNfvdvN速率分布函数必须满足的归一化条件。即函数曲线下面积恒等于1。3、关于速率分布函数的几点重要讨论：vf（v）NdvdNvf)(v1v2000)()(dvvfvNdvvNfvNvdNvdvvNfvdNv)(00)(dvvNfvdNv二、统计平均速率1.分子的平均速率vdN表示速率在v~v+dv区间的分子数，dv是一个微小量，因此这dN个分子可以认为具有相同的速率v，那么这dN个分子的速率之和为：所有N个分子的速率之和为：分子的平均速率为：000)()(dvvfvNdvvNfvNvdNv解释：（1）表示把每个分子的速率相加，再除以总的分子数N得；（2）表示速率v与速率在v~v+dv区间的概率相乘后，再相加得。0vdNvN0()vvfvdvvv2.方均根速率2v0202022)()(dvvfvNdvvNfvNdNvv022)(dvvfvv推广：0()()()gvgvfvdv0)(11dvvfvv如3.最概然速率pv其物理意义是在附近单位速率区间内分子数占总分子数的比率最大；或对一个分子而言，其速率刚好处于附近单位速率区间内的概率最大。pvpvpv最概然速率是速率分布函数曲线峰值所对应的速率。0)(vfdvd求最概然速率的方法——求极值法【例3】一个由N个粒子组成的系统，平衡态下粒子的速率分布曲线如下图所示。试求：（1）速率分布函数；（2）一个分子速率出现在0～v0/2范围的概率；（3）速率在0～v0/2范围内的粒子数；（4）粒子的平均速率、方均根速率和最概然速率。解(1)按图所示的速率分布曲线形状，应有由速率分布函数的归一化条件，可得故速率分布函数为)(0)()(00vvvvkvvf121)(20000kvkvdvdvvfv202vk)(0)(2)(0020vvvvvvvf(2)由，速率在范围内的分子数占总分子数的比率为：dvvfNdN)(2~00v20202000412)(vvdvvvdvvfNN方法2，求面积方法2，求面积（3）速率在范围内的分子数2~00v2020200042)(vvNdvvvNdvvNfN(4)粒子的平均速率方均速率故方均根速率最概然速率是具有最大值，即速率分布曲线峰值所对应的速率。由图中的速率分布曲线，可得00020322vvdvvvvv0020202222vvdvvvvv0222vv)(vf0vvp三、理想气体平衡态的速率分布函数—麦克斯韦速率分布律1、麦克斯韦速率分布函数kTmvevkTmvf22232)2(4)(是平衡态温度是气体分子质量其中:Tm2、理想气体平衡态的速率分布特点存在唯一极大值同种气体，不同温度同一温度，不同气体123mmm对于理想气体平衡态，由其满足的麦克斯韦速率分布律可得：(1)平均速率：:)(:0可得由dvvvfv2223222012220122204()22()()202()28mvkTmvkTmvkTmvvevdvkTmvdekTmedvkTkTm3、理想气体平衡态的特征速率：vduuvudv分部积分公式（2）方均根速率：方均根速率有两种计算方法，一是通过麦克斯韦分布函数来计算，二是通过平均平动动能来计算：mkTdvvevkTmvkTmv3)2(402222322