3.1-两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件3分解

2020/2/111第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式2020/2/112ACDBα45°α45°6730x2020/2/113某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示,小山高BC约为30米,在地平面上有一点A,测得A、C两点间距离约为67米,从A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°.求这座电视发射塔的高度.ABCD306745°α章头图给出的问题2020/2/11430sin,67设电视发射塔高ＣＤ＝x米，∠CAB＝则在直角三角形ABD中，tan3030)45tan(x得于是，解方程30tan)45tan(30xABCD306745°αx因此,求发射塔的高度只需求的值。)45tan(tan3030tanABAB即2020/2/1153.1.1两角差的余弦公式如何用任意角α,β的正弦、余弦值来表示cos(α-β)呢？探究１问题1:你认为cos(α-β)=cosα-cosβ成立吗?第一步：探求表示结果探究过程第二步：对结果的正确性加以证明.23216cos3coscoscos236cos)63cos(cos63而，则、设cos(α－β)究竟可以表示成什么样子？猜想：?=)-cos(问题2:你认为cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ成立吗?2020/2/116在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为，等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示．大家思考：怎样构造角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）探究过程：1PcosyOxP1αM2020/2/117尝试探索：Oxy作角P1∠P1Ox=α，βP∠POP1=β，则∠POx=α-β2020/2/118Oxy作角P∠POP1=β，则∠POx=α-β找线P1∠P1Ox=α，尝试探索：cos(α-β)CosαcosβsinαsinβAPA⊥OP1BAB⊥x轴∠PAB=∠P1Ox=αPC⊥ABCβPCOBCosαOAsinαAPBMOB+BMMOMPM⊥OX+++=2020/2/119OxyP1PMABC即:以上结果为α、β、α-β均为锐角，且αβ的情况下得到的，此式是否对任意角都成立呢？cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinββ思考？2020/2/1110探究2对任意α,β，如何证明它的正确性？cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ于是OA=(cosα,sinα),②怎样用向量数量积的运算和定义得到结果？OB=(cosβ,sinβ)①结合图形，思考应选用哪几个向量？yOxABαβ看能否用向量的知识进行证明？结合向量的数量积的定义和向量的工具性，以上推导是否有不严谨之处？若有，请作出补充。2020/2/1111称为差角的余弦公式。于是，对于任意角α，β都有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ当α-β为任意角时，由诱导公式，总可以找到一个角∈[0,2),使cos=cos(α-β)简记为C(α-β)则OA·OB=cos(2-)=cos=cos(α-β)yyOxABαβ①若∈[0,],则OA·OB=cos=cos(α-β)2-则2-∈(0,）②若∈(,2）,αOxBβA2020/2/1112cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ观察：公式有何特征？如何记忆？１.公式的结构特征:左边是差角α－β的余弦,右边单角α、β的余弦积与正弦积的和,即同名三角函数积的和.2.差角余弦：符号不同积同名cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ谐音记忆为:烤烤晒晒符号反2020/2/1113应用分析：怎样把15°表示成两个特殊角的差？解法1:例1.利用差角余弦公式求cos15°的值.2020/2/1114coscoscoscos45sin60sin451232222262.4（2）15（60-45）=60变式1:求sin75°的值.思考?你还会求哪些非特殊角的余弦呢?cos75°、cos105°、cos(-15°)、cos165°……的值。解法22020/2/1115应用公式的逆用cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)变式2：(1).求求cos27cos12+sin27sin12°°°°的值.(2).求cosxcos(x+15)+sinxsin(x+15)的值.°°(3).求的值.15sin2315cos21°°222020/2/1116应用解:由sinα＝,α∈(,),得542分析:由Cα-β和本题的条件，要计算cos(α-β),还应求什么？又由cosβ=，β是第三象限的角，得135-所以cos(α-β)＝cosβcosα+sinβsinα已知sinα＝,α∈(,),cosβ=-,β是第三象限角，求cos(α-β)的值。542135例2.2020/2/1117已知sinα＝,α∈(,),cosβ=-,β是第三象限角，求cos(α-β)的值。542135例2.变式1:如果去掉条件，对结果和求解过程会有什么影响？),2(要求正确使用分类讨论的思想方法，在表述上也有了更高的要求2020/2/11183).2332、已知cos=，，2，求cos(5解：223cos2sin1cos1cos()coscossinsin3331322343.103=，，2534553455巩固练习:2020/2/111934coscossinsin.5,5,求cos-的值变式3:以知变式2：已知cosα=，cos（α－β）=，0βα,求cosβ的值。31542()思考?若将cos（α－β）改为cos（α+β）呢?注:公式能够正用,逆用,变形用.).cos()2()1(:22构造出分析2020/2/1120作业小结cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ差角的余弦公式,简记为C(α-β)a.这节课我学到了什么知识？b.在公式应用过程中应该注意什么问题？c.这节课我学到了哪些数学思想方法？作业本Ａ2020/2/1121思考题？你能利用cos(α－β)的公式继续探究α±β的其它三角函数公式吗？如?=)sin(?=)cos(?......)tan(2020/2/1122