2018年北京高考数学试题(理科)

数学（理）（北京卷）第1页（共5页）绝密★本科目考试启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合{||2}Axx，{2,0,1,2}B，则AB（A）{0,1}（B）{1,0,1}（C）{2,0,1,2}（D）{1,0,1,2}（2）在复平面内，复数11i的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第二象限（D）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）12（B）56（C）76（D）712否1kkk31,1ks1(1)1kssk开始是结束输出s数学（理）（北京卷）第2页（共5页）（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（A）32f（B）322f（C）1252f（D）1272f（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A）1（B）2（C）3（D）4（6）设,ab均为单位向量，则“|3||3|abab”是“ab”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）在平面直角坐标系中，记d为点(cos,sin)P到直线20xmy的距离．当,m变化时，d的最大值为（A）1（B）2（C）3（D）4（8）设集合{(,)1,4,2}Axyxyaxyxay，则（A）对任意实数a，(2,1)A（B）对任意实数a，(2,1)A（C）当且仅当0a时，(2,1)A（D）当且仅当32a时，(2,1)A正（主）视图211俯视图侧（左）视图2数学（理）（北京卷）第3页（共5页）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）设{}na是等差数列，且13a，2536aa，则{}na的通项公式为．（10）在极坐标中，直线cossin(0)aa与圆2cos相切，则a．（11）设函数()cos()(0)6fxx．若()()4fxf对任意的实数x都成立，则的最小值为．（12）若,xy满足12xyx，则2yx的最小值是．（13）能说明“若()(0)fxf对任意的(0,2]x都成立，则()fx在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是．（14）已知椭圆2222:1(0)xyMabab，双曲线2222:1xyNmn．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为．数学（理）（北京卷）第4页（共5页）三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）在ABC△中，7a，8b，1cos7B．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）求AC边上的高．（16）（本小题14分）如图，在三棱柱111ABCABC中，1CC平面ABC，,,,DEFG分别为1111,,,AAACACBB的中点，5ABBC，12ACAA．（Ⅰ）求证：AC平面BEF；（Ⅱ）求二面角1BCDC的余弦值；（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．（17）（本小题12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“1k”表示第k类电影得到人们喜欢，“0k”表示第k类电影没有得到人们喜欢(1,2,3,4,5,6)k．写出方差123456,,,,,DDDDDD的大小关系．GCBEAD1A1B1CF数学（理）（北京卷）第5页（共5页）（18）（本小题13分）设函数2()[(41)43]exfxaxaxa．（Ⅰ）若曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线与x轴平行，求a；（Ⅱ）若()fx在2x处取得极小值，求a的取值范围．（19）（本小题14分）已知抛物线2:2Cypx经过点(1,2)P．过点(0,1)Q的直线l与抛物线C有两个不同的交点,AB，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，QMQO，QNQO，求证：11为定值．（20）（本小题14分）设n为正整数，集合12{(,,,),{0,1},1,2,,}nkAttttkn．对于集合A中的任意元素12(,,,)nxxx和12(,,,)nyyy，记111122221(,)[(||)(||)(||)]2nnnnMxyxyxyxyxyxy．（Ⅰ）当3n时，若(1,1,0)，(0,1,1)，求和的值；（Ⅱ）当4n时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素,，当,相同时，(,)M是奇数；当,不同时，(,)M是偶数．求集合B中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素,，(,)0M．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）