2016年北京市高考文科数学试题及答案

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合{|24},{|35}AxxBxxx或，则AB（A）{|25}xx（B）{|45}xxx或（C）{|23}xx（D）{|25}xxx或（2）复数12i=2i（A）i（B）1+i（C）i（D）1i（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）8（B）9（C）27（D）36（4）下列函数中，在区间(1,1)上为减函数的是（A）11yx（B）cosyx（C）ln(1)yx（D）2xy（5）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（A）1（B）2（C）2（D）22（6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（A）15（B）25（C）825（D）925（7）已知A（2，5），B（4，1）.若点P（x，y）在线段AB上，则2x−y的最大值为（A）−1（B）3（C）7（D）8（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远（单位：米）1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳绳（单位：次）63a7560637270a−1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（A）2号学生进入30秒跳绳决赛（B）5号学生进入30秒跳绳决赛（C）8号学生进入30秒跳绳决赛（D）9号学生进入30秒跳绳决赛第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）已知向量=(1,3),(3,1)ab，则a与b夹角的大小为_________.（10）函数()(2)1xfxxx的最大值为_________.（11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.(12)已知双曲线22221xyab（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（5,0），则a=_______；b=_____________.(13)在△ABC中，23A，a=3c，则bc=_________.(14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有_______种.三、解答题（共6题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题13分）已知{an}是等差数列，{bn}是等差数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和.（16）（本小题13分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω0）的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.（17）（本小题13分）某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（I）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.（18）（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，,ABDCDCAC∥（I）求证：DCPAC平面；（II）求证：PABPAC平面平面；(III)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PACEF平面?说明理由.（19）（本小题14分）已知椭圆C：22221xyab过点A（2,0），B（0,1）两点.（I）求椭圆C的方程及离心率；（II）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.（20）（本小题13分）设函数32.fxxaxbxc（I）求曲线.yfx在点0,0f处的切线方程；（II）设4ab，若函数fx有三个不同零点，求c的取值范围；（III）求证：230ab＞是.fx有三个不同零点的必要而不充分条件.2016年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)(北京卷)参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C（2）A（3）B（4）D（5）C（6）B（7）C（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）6（10）2（11）32（12）12（13）1（14）1629三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（I）等比数列nb的公比32933bqb，所以211bbq，4327bbq．设等差数列na的公差为d．因为111ab，14427ab，所以11327d，即2d．所以21nan（1n，2，3，）．（II）由（I）知，21nan，13nnb．因此1213nnnncabn．从而数列nc的前n项和11321133nnSn12113213nnn2312nn．（16）（共13分）解：（I）因为2sincoscos2fxxxxsin2cos2xx2sin24x，所以fx的最小正周期22．依题意，，解得1．（II）由（I）知2sin24fxx．函数sinyx的单调递增区间为2,222kk（k）．由222242kxk，得388kxk．所以fx的单调递增区间为3,88kk（k）．（17）（共14分）解：（I）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间0.5,1，1,1.5，1.5,2，2,2.5，2.5,3内的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15．所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%．依题意，w至少定为3．（II）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：组号12345678分组2,44,66,88,1010,1212,1717,2222,27频率0.10.150.20.250.150.050.050.05根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.0510.5（元）．（18）（共13分）解：（I）因为C平面CD，所以CDC．又因为DCC，所以DC平面C．（II）因为//DC，DCC，所以C．因为C平面CD，所以C．所以平面C．所以平面平面C．（III）棱上存在点F，使得//平面CF．证明如下：取中点F，连结F，C，CF．又因为为的中点，所以F//．又因为平面CF，所以//平面CF．（19）（共14分）解：（I）由题意得，2a，1b．所以椭圆C的方程为2214xy．又223cab，所以离心率32cea．（II）设00,xy（00x，00y），则220044xy．又2,0，0,1，所以，直线的方程为0022yyxx．令0x，得0022yyx，从而002112yyx．直线的方程为0011yyxx．令0y，得001xxy，从而00221xxy．所以四边形的面积12S00002121212xyyx22000000000044484222xyxyxyxyxy00000000224422xyxyxyxy2．从而四边形的面积为定值．（20）（共13分）解：（I）由32fxxaxbxc，得232fxxaxb．因为0fc，0fb，所以曲线yfx在点0,0f处的切线方程为ybxc．（II）当4ab时，3244fxxxxc，所以2384fxxx．令0fx，得23840xx，解得2x或23x．fx与fx在区间,上的情况如下：x,2222,3232,3fx00fxc3227c所以，当0c且32027c时，存在14,2x，222,3x，32,03x，使得1230fxfxfx．由fx的单调性知，当且仅当320,27c时，函数3244fxxxxc有三个不同零点．（III）当24120ab时，2320fxxaxb，,x，此时函数fx在区间,上单调递增，所以fx不可能有三个不同零点．当24120ab时，232fxxaxb只有一个零点，记作0x．当0,xx时，0fx，fx在区间0,x上单调递增；当0,xx时，0fx，fx在区间0,x上单调递增．所以fx不可能有三个不同零点．综上所述，若函数fx有三个不同零点，则必有24120ab．故230ab是fx有三个不同零点的必要条件．当4ab，0c时，230ab，232442fxxxxxx只有两个不同零点，所以230ab不是fx有三个不同零点的充分条件．因此230ab是fx有三个不同零点的必要而不充分条件．