2014版山东《复习方略》(人教A版数学理)课时提升作业第四章-第三节平面向量的数量积

圆学子梦想铸金字品牌-1-温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十七)一、选择题1.有下列四个命题：①(a·b)2＝a2·b2；②|a＋b||a－b|；③|a＋b|2＝(a＋b)2；④若a∥b，则a·b＝|a|·|b|.其中真命题的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)42.(2012·辽宁高考)已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|，则下面结论正确的是()(A)a∥b(B)a⊥b(C)|a|=|b|(D)a+b=a-b3.在平面直角坐标系xOy中作矩形OABC,已知|OA|=4,|AB|=3,则ACOB的值为()(A)0(B)7(C)25(D)-74.已知向量a,b,x,y满足|a|=|b|=1,a·b=0,且,2,axybxy则|x|+|y|等于()(A)23(B)25(C)2(D)55.在△ABC中，ACABBCBA12|AB||BA|，，则AB边的长度为()(A)1(B)3(C)5(D)96.(2013·重庆模拟)已知向量a,b满足|a|=|b|=2,a·b=0，若向量c与a-b共线，则|a+c|的最小值为()圆学子梦想铸金字品牌-2-(A)1(B)2(C)3(D)27.(2013·济南模拟)设a,b是非零向量，若函数f(x)=(xa+b)·(a-xb)的图象是一条直线，则必有()(A)a⊥b(B)a∥b(C)|a|=|b|(D)|a|≠|b|8.已知O是△ABC内部一点，OAOBOCABAC23，，0且∠BAC=30°，则△AOB的面积为()(A)2(B)1(C)12(D)139.已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边，向量m=(3,-1),n=(cosA,sinA)．若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，则角A,B的大小分别为()(A)6,3(B)23,6(C)3,6(D)3,310.(能力挑战题)如图,已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B.且OAOB，则向量OB的坐标为()(A)(11,22)(B)(22,22)(C)(11,33)(D)(33,22)二、填空题11.已知平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a·b=-6,则1122xyxy=圆学子梦想铸金字品牌-3-_________.12.(2013·山东师大附中模拟)在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则OA(OBOC)的最小值是_________.13.(2013·杭州模拟)以下命题：①若|a·b|=|a|·|b|，则a∥b；②a=(-1,1)在b=(3,4)方向上的投影为1;5③若△ABC中，a=5,b=8,c=7，则BCCA20；④若非零向量a,b满足|a+b|=|b|,则|2b||a+2b|.其中所有真命题的序号是_________.14.(能力挑战题)给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为90°.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动,若OCxOAyOB,其中x,y∈R,则xy的范围是______.三、解答题15.(2013·晋中模拟)已知A(－1,0)，B(0,2)，C(－3,1)，2ABAD5,AD10.(1)求D点的坐标.(2)若D点在第二象限，用AB,AD表示AC.(3)设AE＝(t,2)，若3ABAC＋与AE垂直，求AE的坐标.答案解析1.【解析】选A.①(a·b)2＝|a|2·|b|2·cos2〈a，b〉≤|a|2·|b|2＝a2·b2；②|a＋b|与|a－b|大小不确定；圆学子梦想铸金字品牌-4-③正确；④a∥b，当a,b同向时有a·b＝|a|·|b|；当a，b反向时有a·b＝-|a|·|b|.故不正确.2.【思路点拨】将所给等式两边平方，找到两个向量的关系.【解析】选B.|a+b|=|a-b|⇒|a+b|2=|a-b|2⇒a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2⇒a·b=0⇒a⊥b.【变式备选】已知非零向量a,b满足向量a+b与向量a-b的夹角为2，那么下列结论中一定成立的是()(A)a=b(B)|a|=|b|(C)a⊥b(D)a∥b【解析】选B.由条件得(a+b)·(a-b)=a2-b2=0，故可得|a|=|b|.3.【解析】选D.2222ACOB(OCOA)(OCOA)|OC||OA|34=-7.4.【解析】选B.由所给的方程组解得,2,xabyab22||22,xabab22||445,yabab∴||25.|x|y5.【思路点拨】根据数量积的定义计算，并结合解三角形的知识得到结果.【解析】选B.过点C作AB的垂线，垂足为D.由条件得ACAB|AC||AB|cosA|AC|cosAAD1|AB||AB|，同理BD=2.故AB=AD+DB=3.6.【解析】选B.由于c与a-b共线，且a-b≠0所以设c=λ(a-b)(λ∈R)，于是a+c=a+λ(a-b)=(λ+1)a-λb，所以|a+c|=2(1)［］ab=224844圆学子梦想铸金字品牌-5-=218()22,因此当λ=12时，|a+c|取最小值2.7.【解析】选A.f(x)=(xa+b)·(a-xb)的图象是一条直线，而(xa+b)·(a-xb)=x|a|2-x2a·b+a·b-x|b|2，故a·b=0,又∵a,b为非零向量，∴a⊥b,故应选A.8.【解析】选D.由OAOBOC0得O为△ABC的重心,∴AOBABC1SS.3△△又ABAC|AB||AC|cos3023，得ABC1|AB||AC|4,S|AB||AC|sin301.2△∴AOB1S3△.9.【解析】选C.由m⊥n可得m·n=0，即3cosA-sinA=0，所以A=3.又acosB+bcosA=csinC知c=csinC,则sinC=1，所以C=2,由B=23-C可得B=6.10.【解析】选B.依题意设B(cosθ,sinθ),0≤θ≤π.则OA=(1,1),OB=(cosθ,sinθ).因为OA⊥OB,所以OA·OB=0,即cosθ+sinθ=0,解得θ=34,所以OB=(22,22).【方法技巧】解题时引入恰当的参数θ是解题的关键，进而可利用三角函数的定义求得点B的坐标，可将问题转化为向量的坐标运算问题来解决.11．【思路点拨】根据条件求出向量的夹角，进而寻求向量坐标间的关系，化简圆学子梦想铸金字品牌-6-求值即可.【解析】设a,b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cosθ=-6,∴cosθ=-1,∴θ=180°.即a,b共线且反向.又∵|a|=2,|b|=3,∴a=23b,x1=23x2,y1=23y2,∴1122xy2xy3.答案：2312.【解析】令|OM|=x且0≤x≤2,则|OA|=2-x.OA(OBOC)OA2OM=-2(2-x)x=2(x2-2x)=2(x-1)2-2≥-2，∴OA(OBOC)的最小值为-2.答案:-213.【解析】①中，由|a·b|=|a||b||cos〈a,b〉|=|a||b|,知cos〈a,b〉=±1，故〈a,b〉=0或〈a,b〉=π，所以a∥b，故正确;②中a在b方向上的投影为1||cos,||||||||5〈〉，ababaabaabb故正确；③中，由余弦定理得2225871cosC,2582故1BCCACBCA5820,2故错误.④中，由|a+b|=|b|知|b|+|a+b|=|b|+|b|,∴|2b|=|b|+|a+b|≥|b+a+b|=|a+2b|,故错误.答案:①②14.【解析】由OCxOAyOB,得22222OCxOAyOB2xyOAOB.圆学子梦想铸金字品牌-7-又|OC||OA||OB|1,OAOB0,∴221xy2xy,得1xy,2而点C在以O为圆心的圆弧AB上运动,得x,y∈［0,1］,于是0≤xy≤1.2答案:［0,12］15.【解析】(1)设D(x，y)，AB＝(1,2)，AD＝(x＋1，y).由题得222ABADx12y5,AD(x1)y10,22x2y4,(x1)y10,x2,x2,y3y1.或∴D点的坐标为(－2,3)或(2,1).(2)∵D点在第二象限，∴D(－2,3).∴AD＝(－1,3).∵AC＝(－2,1)，设AC＝mAB＋nAD，则(－2,1)＝m(1,2)＋n(－1,3)，∴2mn,m1,12m3n,n1,∴AC＝－AB＋AD.(3)∵3ABAC31,2(2,1)1,7AE(t,2)＋＝＋－＝，＝，∵3ABAC与AE垂直，∴(3ABAC)AE0,＋＝∴t＋14＝0,∴t＝－14,∴AE＝(－14,2).【变式备选】在平面直角坐标系中,已知向量a=(-1,2)，又点A(8,0)，B(n,t),C(ksinθ,t)(0≤θ≤2).圆学子梦想铸金字品牌-8-(1)若AB⊥a,且|AB|5|OA|(O为坐标原点),求向量OB.(2)若向量AC与向量a共线,当k4,且tsinθ取最大值4时,求OAOC.【解析】(1)可得AB=(n-8,t),∵AB⊥a,∴AB·a=(n-8,t)·(-1,2)=0,得n=2t+8,则AB=(2t,t).又|AB|5|OA|,|OA|8.∴(2t)2+t2=5×64,解得t=±8,当t=8时,n=24;当t=-8时,n=-8.∴OB=(24,8)或OB=(-8,-8).(2)∵向量AC与向量a共线,∴t=-2ksinθ+16,tsinθ=(-2ksinθ+16)sinθ=24322k(sin).kk∵k4,∴04k1,故当sinθ=4k时,tsinθ取最大值32,k有324,k得k=8.这时,sinθ=1,2k=8,tsinθ=4,得t=8,则OC=(4,8),∴OAOC=(8,0)·(4,8)=32.关闭Word文档返回原板块。