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有理数的概念知识梳理有理数的概念一、目标认知学习目标：了解正数、负数、有理数的概念，会用正数和负数表示相反意义的量。掌握一个数的相反数的求法和性质，学习使用数轴，借助数轴理解相反数的几何意义，会借助数轴比较有理数的大小。掌握一个数的绝对值的求法和性质，进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义。重点：有理数的概念及其分类，相反数的概念及求法，绝对值的概念及求法，数轴的概念及应用；有理数比较大小难点：绝对值的概念及求法，尤其是用字母表示的时候的意义。运用数轴理解绝对值的几何意义。有理数比较大小的方法的掌握。二、知识要点梳理知识点一：负数的引入要点诠释：正数和负数是根据实际需要而产生的，随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，比如一些有相反意义的量：收入200元和支出100元、零上6℃和零下6℃等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎样表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的的量规定为负的，这样就产生了正数和负数。用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。知识点二：正数和负数的概念要点诠释：（1）像3、1.5、、584等大于0的数，叫做正数，在小学学过的数，除0以外都是正数，正数比0大。（2）像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”(读作负)号的数，叫做负数。负数比0小。（3）零既不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。注意：（1）为了强调，正数前面有时也可以加上“＋”（读作正）号，例如：3、1.5、也可以写作＋3、＋1.5、＋。（2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。例如：－a一定是负数吗？答案是不一定。因为字母a可以表示任意的数，若a表示的是正数，则－a是负数；若a表示的是0，则－a仍是0；当a表示负数时，－a就不是负数了（此时－a是正数）。知识点三：有理数的有关概念要点诠释：1、有理数：整数和分数统称为有理数。注：（1）有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的数，这时的分数包括整数。但是本节中的分数不包括分母是1的分数。（2）因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。（3）“0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。2、整数包括正整数、零、负整数。例如：1、2、3、0、－1、－2、－3等等。3、分数包括正分数和负分数，例如：、、0.6、－、－、－0.6等等。知识点四：有理数的分类要点诠释：1、按整数、分数的关系分类：2、按正数、负数与0的关系分类：注：通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。如果用字母表示数，则a＞0表明a是正数；a＜0表明a是负数；a0表明a是非负数；a0表明a是非正数。知识点五：数轴的概念要点诠释：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴数轴的定义包含三层含义：（1）数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；（2）数轴有三要素——原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；（3）原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）。知识点六：数轴的画法要点诠释：1、画一条直线（一般画成水平的直线）。2、在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下面标上“0”）。3、确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出来。4、选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3……；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为－1，－2，－3……注：（1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取；（2）确定单位长度时，根据实际情况，有时也可以每隔两个(或更多的)单位长度取一点，从原点向右，依次表示为2，4，6，……；从原点向左，依次表示为－2，－4，－6，……；知识点七：数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数。要点诠释：正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。知识点八：利用数轴比较有理数的大小要点诠释：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。知识点九：相反数的概念1、相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。2、相反数的代数定义：只有符号不同的两个数（除了符号不同以外完全相同），我们说其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。要点诠释：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同；（2）相反数是数，不是量；（3）相反数是成对出现的。知识点十：相反数的表示方法要点诠释：一般地，数a的相反数是－a。这里a表示任意的一个数，可以是正数、负数、或者0。知识点十一：多重符号的化简把多重符号化成单一符号，如果是正号，则可以省略不写，实际上，多重符号的化简是由“-”的个数来定，若“-”个数为偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4；若“-”个数为奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4。要点诠释：1、在一个数的前面添上一个“＋”号，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5。2、在一个数的前面添上一个“－”号，就成为原数的相反数。如－(－3)就是－3的相反数，因此，－(－3)＝3。知识点十二：绝对值的概念要点诠释：1、绝对值的几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，数a的绝对值记作“”2、绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即知识点十三：两个负数大小的比较要点诠释：因为两个负数在数轴上的位置关系是：绝对值较大的负数一定在绝对值较小的负数的左边，所以，两个负数，绝对值大的反而小。比较两个负数大小的方法是：一、先分别求出这两个负数的绝对值；二、比较这两个绝对值的大小；三、根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。知识点十四：有理数大小的比较法则要点诠释：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。三、规律方法指导有理数与小学所学的数，主要区别在于负数。有理数可以用数轴上的点来表示，任何一个有理数都能在数轴上找到表示它的位置，而是唯一确定的点。数轴上的点可以表示三类数。在数轴上表示零的点称做原点，以这个点为界，正有理数（正整数、正分数）用原点右边的点来表示；负有理数（负整数、负分数）用原点左边的点来表示，这就说明，数轴是有方向的。由于数轴规定了方向，因而在数轴上排列着的数就是有顺序的。从左到右一个数比一个数大。即数轴上表示的数，右边的总比左边的大。在数轴上，原点左、右两边距离原点等远的点所表示的有理数，它们只有符号不同，这样的一对数称为互为相反数。如果数轴上的点只考虑它到原点的距离，而不考虑它的正、负方向的数，则表示这个有理数的绝对值。经典例题透析类型一：有理数分类的问题例1：请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里。1,0.0708,-700,-3.88,0,3.14159265,,.正整数集合:{…}负整数集合:{…}整数集合:{…}正分数集合:{…}负分数集合:{…}分数集合:{…}思路点拨:这种关于有理数的分类问题，关键是要掌握各种数的概念。小学时所学的自然数就是正整数和零，进入中学，出现了负整数，而整数的范围就扩大到了正整数、零和负整数。有限小数和无限循环小数都可以写成分数的形式，因此，它们都是分数。解析：正整数：1；负整数：-700；整数：1，0，-700；正分数：0.0708，3.14159265，；负分数：-3.88，；分数：0.0708，3.14159265，，-3.88，总结升华：有理数包括整数和分数，分数包含有限小数和无限循环小数，但须注意的是，不是所有的小数都是分数，比如π等。所以，我们也不能说小学学过的所有数都是有理数，还有一部分数不是有理数，那么这部分数我们将在今后学习研究。举一反三：【变式1】在数-100,70.8,-7,π,-3.8,0,,,中,不是分数的是___________________;不是小数的是_____________;不是有理数的是______________。【变式２】下列四种说法，正确的是().(A)所有的正数都是整数(B)不是正数的数一定是负数(C)正有理数包括整数和分数(D)0不是最小的有理数类型二：正负数的概念例2：若把向北走7km记为－7km，则＋10km表示的含义是（）A.向北走10kmB.向西走10kmC.向东走10kmD.向南走10km思路点拨：“正”和“负”相对，－7km表示向北走7km，则＋10km表示向南走10km.答案：D总结升华：在一对具有相反意义的量中，若先规定一个为正，则另一个就用负表示；若先规定一个为负，则另一个就用正表示。举一反三：【变式】(1)如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________表示，0元表示__________.(2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？类型三：与数轴相关的问题例3:数轴上有一点到原点的距离是5.5，那么这个点表示的数是_________.思路点拨:到原点的距离等于5.5的点既可以在原点左边，也可以在原点右边，因此这样的点有两个。解析：5.5或-5.5总结升华：与数轴相关的问题还有数轴的画法以及借助数轴来比较有理数的大小。例4：如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_________.思路点拨:数轴上的点表示的数右边的比左边的大。因此，被污染的部分的数大于-1.3，小于2.6，再考虑这一范围内的整数即可。解析：-1,0,1,2总结升华：利用数轴解决问题是数形结合数学思想的的一个重要应用，要能由“形”看出“量”的一些关系。举一反三：【变式1】实数在数轴上表示如图所示，则下列结论错误的是（）A.B.C.D.【变式2】一个点从数轴的原点开始,先向右移动3个单位长度,再向左移动5个单位长度,则终点表示的数是______.【变式3】数轴上点A对应的数为-3,那么与A相距1个长度的点B所对应的数是_________.类型四：与相反数相关的问题例5：（1）的相反数是_________，－3与_________互为相反数（2）的相反数是________，的相反数是________，的相反数是________.（3）0的相反数是_________.（4）已知那么的相反数是________.已知，则a的相反数是________.思路点拨:(1)代数意义：只有符号不同的两个数互为相反数，特别地，O的相反数是0．相反数必须成对出现，不能单独存在．例如+5和－5互为相反数，或者说+5是－5的相反数，－5是+5的相反数，而单独的一个数不能说是相反数．另外，定义中的“只有”指除符号以外，两个数完全相同，注意应与“只要符号不同”区分开．例如+3与－3互为相反数，而+3与－2虽然符号不同，但它们不是相反数．(2)几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．这两点是关于原点对称的．(3)求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“一”号即可．一般地，数a的相反数是－a；这里以a表示任意一个数，可以为正数、0、负数，也可以是任意一个代数式．注意－a不一定是负数．注意：当a＞O时，－a＜0(正数的相反数是负数)；当a=O时，－a=O(0的相反数是0)；当a＜0时，a＞O(负数的相反数是正数)．(4)互为相反数的两个数的和为零，即若a与b互为相反数，则a+b=0，反之，若a+b=O，则a与b互为相反数．(5)多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“＋”号，都可以全部去掉；一个正数前面有偶数个“－”号，也可以把“－”号全部去掉；一个正数前