1.1任意角和弧度制

第一章三角函数任意角和弧度制1§1.1任意角和弧度制教学任务①了解任意角的概念。②了解弧度制，能正确进行弧度与角度的换算。重点难点重点：将360~0范围的角推广到任意角，了解弧度制并能进行弧度与角度的换算。难点：弧度的概念，用集合来表示终边相同的角。教学过程一．引入在初中，我们知道角是“从一点出发的两条射线所形成的图形”，角也可看成是“由一条射线绕着它的端点旋转而成的”。过去我们只研究360~0范围的角，但在生活中还存在其它的角，例如，钟表的时针、体操运动员的转体、车轮上的一点以及螺丝扳手按不同方向旋转所形成的角，等等。因此有必要把角的概念推广到更大范围。二．新课1.1.1任意角（1）任意角学生阅读《数学4（A版）》第2页的内容，体会学习任意角的实际背景与必要性。角的概念：一条射线的端点是O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB，形成了一个角。点O叫做角的顶点，射线OA叫做角的始边，射线OB叫做角的终边。为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记成“”。角的分类：射线OA可以按两个方向旋转或静止不动，依据上述定义中旋转的方向，我们将角作如下分类：正角：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角（positiveangle）。负角：按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角（negativeangle）。零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角（zeroangle），零角的始边与终边重合，零角无正负。任意角：任意角（anyangle）包括正角、负角和零角。如图，正角210，负角150，660。思考：始边与终边重合的角一定是零角吗？（2）直角坐标系中的角象限角与轴上角：当角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边（除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是第几第一章三角函数任意角和弧度制2象限角（quadrantangle）。如果角的终边落在坐标轴上时，就认为这个角不属于任何象限（称为象限界上的角）。例如，30、390、330角都是第一象限角，300、60角都是第四象限角，585角是第三象限角。注意：正确建立直角坐标系—使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，是判断某角是第几象限角的前提（“x轴的非负半轴”包括原点）；（3）终边相同的角学生阅读《数学4（A版）》第3页至第4页的内容，体会终边相同的角的概念。思考：32、328和392角具有什么关系？你还能找出具有这种关系的角吗？如何用代数式表示与32角终边重合的角？观察可知，328，392角的终边都与32角的终边相同（重合），且这两个角都可以表示成0到．360的角．．与k个（Zk）周角的和。36032328，1k36032392，1k。设},36032|{ZkkS，则328，392角都是集合S的元素（1k和1k），32角也是S的元素（0k），容易看出，所有与32角终边相同的角，连同32角在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素都与32角终边相同。①终边相同的角：一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可以构成一个集合ZkkS,360即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。说明①与角终边相同的角的一般形式为360k，其中1）为任意角；2）Zk；第一章三角函数任意角和弧度制3②终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同。终边相同的角有无限多个，构成了一个无限集，它们之间相差360的整倍数。③几何意义：从角终边开始旋转，每转一圈后的角与角终边重合。④几个容易混淆的概念：名称表示方法360~0的角)360,0[0到360的角360,00到90的角90,0第一象限角Zkkk,360903600锐角900小于90的角90例1．在360~0间，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角。120640'12950分析：此题的关键是通过终边相同的角的表达式Zkk360来寻求合适的k。可以通过角的除法来确定k。解：∵360240120，∴与120角终边相同的角是240角，它是第三象限角；∵360280640，∴与640角终边相同的角是280角，它是第四象限角；12403601203601280360640360第一章三角函数任意角和弧度制4∵36038412921950，∴与21950角终边相同的角是84129，它是第二象限角。说明：正的角度除以360，按通常的除法进行；负的角度除以360，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以使余数为正值．．．．．．。练习：写出与下列各角终边相同的角的集合S，并写出S中720~360间的角：6021'14363解：⑴ZkkS,36060S中适合720360的元素是300360160，60360060，420360160⑵ZkkS,36021S中适合720360的元素是21360021，339360121，699360221⑶ZkkS,36014363'S中适合720360的元素是64356360241363，413360141363，41363360041363。②轴上角与线上角：例2．写出终边在y轴上的角的集合。解：在0到360范围内，终边在y轴上的角有两个，即90，270角。因此，所有与90角终边相同的角，即终边落在y轴正半轴上的角的集合为：ZkkS,903601所有与270角终边相同的角，即终边落在y轴负半轴上的角的集合为：348129108012950360''第一章三角函数任意角和弧度制5ZkkS,2703602故终边在y轴上的角的集合为ZnnZkkZkkZkkZkkZkkZkkSS,90180,9018012,901802,90180360,90360,270360,9036021变式：用你通过例题学到的方法，写出终边在x轴上的角的集合。Znn,180引申1：你能写出终边在坐标轴上的角的集合吗？Znn,90终边在x轴非负半轴上的角：Zkk,360终边在x轴非正半轴上的角：Zkk,360180终边在x轴上的角：Zkk,180终边在y轴非负半轴上的角：Zkk,36090终边在y轴非正半轴上的角：Zkk,360270终边在y轴上的角：Zkk,18090终边在坐标轴上的角：Zkk,1802或Zkk,90例3．写出终边在直线xy上的角的集合S，并写出S中适合不等式720360的元素。解法1：（代数法）在直角坐标系中画出直线xy，可以发现它与x轴夹角是45，而终边在直线xy上的角有两个：45和225。因此，终边在直线xy上的角的集合为：第一章三角函数任意角和弧度制6ZnnZkkZkkS,45180,225360,45360S中适合720360的元素是315180245，135180145，45180045，225180145，405180245，585180345。解法2：（几何法）根据几何意义可知：终边落在直线xy上的所有角是从45开始旋转，每次旋转半圈得到的，故：ZnnS,45180S中适合720360的元素是315180245，135180145，45180045，225180145，405180245，585180345。指南针：事实上，轴上角只是线上角的特殊形式。当两个角的终边互为反向延长线（即位于一条直线上）时，例3的几何解法非常直观。③象限角与区域角例4．写出终边落在第二象限的角的集合。分析：先写出在0到360间的第二象限的角的集合，再利用终边相同的角的表达式写出所有适合条件的角的集合。解：在0到360范围内，终边在第二象限的角满足18090，与终边相同的所有角的终边都在第二象限，故适合条件的角的集合为Zkkk,36018036090。变式：用你通过例题学到的方法，写出其他的象限角的集合。说明：①要掌握这种求并集的方法。②象限角和终边在坐标轴上的角用集合的形式可表示为：第一象限角：Zkkk,36090360第二象限角：Zkkk,36018036090第三象限角：Zkkk,360270360180第四象限角：Zkkk,360360360270第一章三角函数任意角和弧度制7例5．写出图中阴影区域表示的角的集合S。解法１：（代数法）左边阴影区域的集合为：ZkkkS,3602253601351；右边阴影区域的集合为：ZkkkS,36045360452；阴影区域表示的集合为：ZkkkSSS,180451804521。解法２：（几何法）图中阴影部分的角是直线xy旋转到xy得到的。终边在xy上的角的集合为：ZnnL,451801；终边在xy上的角的集合为：ZnnL,451801；则由集合1L旋转到2L的角的集合为：Zkkk,1804518045。指南针：①要找区域角先找边界角，然后用旋转的思想写出区域角的集合。②注意区分象限角与在某一范围内的角：象限角是由无数个该范围内的角所组成的。练习：如图、分别为终边落在OM、ON位置上的两个角，且30，300。⑴终边落在阴影部分（含边界）的所有角的集合；⑵终边落在阴影部分，且区间在360,0时的所有角的集合。解：⑴∵36060300，∴Zkkk,3036060360。或者写成Zkkk,390360300360。⑵在区间360,0内，且终边落在阴影部分的角由两部分组成，即360,30030,0。④ｎ等分角与ｎ倍角问题第一章三角函数任意角和弧度制8例6．若是第二象限角，则2是第象限的角；3是第象限的角；2是第象限的角。分析：由是第二象限角，可利用终边相同的角的表达式写出的范围，进而求出2、3、2的范围，再判断其所在的象限。解：由是第二象限角，得Zkkk,36018036090则有：⑴Zkkk,18090218045当nk2，Zn时，Znnn,1802902180245