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第十章重积分95数，故/,=Jj(x2+y1)3d(j=2jj(x2+y1)3dcr.fhi)i又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/+r2)3关于y是偶函数，故jj(x2+j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2.Dy1)：从而得/,=4/2.(2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix,-y)=-f(x,y),PJjf/(x,y)da=0；D如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则=0.D«3.利用二重积分定义证明：(1)jjda=(其中(7为的面积)；IJ(2)JJ/c/(X,y)drr=Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)；on(3)JJ/(x,y)clcr=JJ/(x,y)drr+jJ/(x,y)dcr,其中/)=/)!U/)2，，A为两个I)b\lh尤公共内点的WK域.证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得ny2D2-1OiT-2图10-196一、《高等数学》(第七版)下册习题全解jj'ltr=Hmy^/(,rji)Ar,=lim^Ac,=limcr=a.A—0n(2)Ji/(x,j)(Ic7=lim^i)1n=Alimy/(^(,i7,)A(7-,=k\\f{x,y)Aa.A-°台•{!(3)因为函数/U，y)在闭区域/)上可积，故不论把£»怎样分割，积分和的极限总是不变的.因此在分割D时,可以使和/)2的公共边界永远是一条分割线.这样fix.y)在AUD2上的积分和就等于&上的积分和加D2上的积分和，记为^/(^,,17,)ACT,=^/(^,,17,)ACT,+^/(^,,17,)ACT,./)(U0,,l)：令所有的直径的最大值A-0,上式两端同时取极限，即得Jf(x,y)i\a=jjf(x,y)da+JJ/(xfy)da.p,un}V,n；Sa4.试确定积分区域/)，使二重积分][(1-2x2-y2)d«ly达到最大值.I)解由二重积分的性质可知，当积分区域/＞包含了所有使被积函数1-2.v2-V2大于等于零的点，而不包含使被积函数1-2/-y2小于零的点，即当£»是椭圆2/+y2=l所围的平面闭区域时，此二重积分的值达到最大.&5.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：(1)Ju+y)2山7与J[U，其中积分区域D是由x轴、^轴与直线A+.、=DI)1所围成；(2)J(x+7)2如与■，其中积分区域0是由圆周(.r-2)2+(.v-l)2=t)n2所围成；(3)I'MA；+y)(lor与![In(X+y)]2(1(7，其中Z＞是三角形闭K域，三顶点分别为l)(1，0)，(1，1)，(2,0);(4)Jpn(:r+y)dcr与In(:t+y)]2fW，其中/)=|(.r,.v)|3，0彡、彡1.i)i)解(1)在积分K域0上，故有(x+j)3^(x+y)2.根据二重积分的性质4，可得J(.r+y)\lrx^J(.\+v)0D(2)由于积分区域0位于半平面|(A:，V)|.V+•、彡11内，故在/)|:&(.f+y)2彡(A+y)3•从『(•J(v+＞)：drr^jj(x+y)\lfr.第十章重积分97(3)由于积分区域D位于条形区域1U，y)|1彡1+7彡2丨内，故知区域/)上的点满足0彡InU+y)彡1，从而有[lnU+y)]2彡lnU+.y).因此jj[ln(A:+y)]2(Jo-^+y)d(4)由于积分区域/)位于半平面丨(x，y)|.v+y彡e|内，故在Z)上有ln(x+y)彡1，从而：In(-v+)')]2彡In(:c+)').因此Jj^1n(.r+y)]2dcr^Jln(x+y)da.i)a36.利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1)/=|^7(文+7)心，其中/)=\(x,y)1,01|；n(2)/=j^sin^sin^do■，其中/)=j(A:,y)|0^^^TT,0^y^TT1;i)(3)/=J*(A：+y+l)d(7,其中/={{x,y)|0^x^l,0^j^2[；it(4)/=J(x2+4y2+9)do•，其中D=\{x,y)\x2+y2^4|.I)解(1)在积分区域D上，0矣;:矣1,0英y矣1,从而0矣巧•(*+y)矣2•又£»的面积等于1,因此(2)在积分区域/)上，0矣sinJ:矣1,0^sin1，从而0彡sin2A：sin2y彡1，又0的面积等于TT2,W此(3)在积分K域上有\^x+y+\«4,/)的而积等于2,因此(4)W为在积分K域/»上有0矣;t2+y2苳4,所以有9^+4r2+9^4(x2+y2)+9矣25.34I)的酣枳等于4TT，W此36TT^[[(x2+4/+9)(Ur^lOO-ir.二重积分的计算法.^1.计算下列二甩积分:98｛高等数学＞(第七叛)下册习题全第(2)l3x十2);dcr，其中是由两坐标轴及直线-X-+v=2听围成的闭区域；b(3Jjj(xJ+3x2\+v3)da，其中D=(x,v)0^A:^1.0^v^1；u(4)jjxcas(X+Yjdo■，其中Z是顶点分别为(0.0j77,0)和(77,77)的三角形闭区域.m(1(x24-V2)d(T=fdxf(X2-hV2)dVdxjfh(2)D可用不等式表示为于是2r2-x3xy+y2]l~xdx=|(4+2x-2x2)dx20(3)(+3x2y+y3)da=d(文3+3.r2v+、、)ch.+xy+vJCdi(4)l)可用不等式表示为0^V^A：,0^.t^7T.于是|A:COS(JC+y)da=Icos(.v+v)dI[sin(.t+y)]Q()^=JV(sin2.v-sin.v)1xx(\(cos.v—丄(.，s2.v)卜(1X(-TTrTXcos.v-—rusTT.&2._出枳分ix:域，斤i卜r):v列m分:第十章重积分99x2^y^J^,0矣x矣1(图10-2).0«^^/4-y2,-2矣7矣2(图10-3),(1)J^^do■，其中/)是由两条抛物线7=v^,y=*2所围成的闭区域；D(2)jfxy2dcr,其中D是由圆周x2+J2=4及y轴所围成的右半闭区域；I)(3)JV+'dcr，其中/)=I(%，)•)||A；|+|J|^1!；D(4)|U2+/-x)lo•，其中D是由直线y:l、y二xh:2*所围成的闭区域.D解(1)0可用不等式表示为于是(2)D可用不等式表示为(3)如阁I()-4，W=/\U2，其中/1=\(x,y)\-x-\^y^Jc+1,-1^a;^0|,I)2=\(x,y)|*-1+因此100一、《高等数学》(第七版)下册习题全解Ea3.如果二重积分|/(.r,y)心办的被积函数/(x，v)是两个函数/](O及)的乘n积，即/(X，y)=f\(x)./“y)，积分区域/)={(.V,y)I(1^V^/,r^,证叫这个二重积分等于两个单积分的乘枳，即|*/|U)-/2(r)flatly=[J/,(.v)(l.v]-[[/：()^v]-证Jj./1(x)•.,2(/)dvdV~J[fJ\(v)■./：t^]l^x*在上式右端的第一次单枳分f/,(.V)•/2(.V)dv中,./,(A.)1Jfut变招:、无关，nn见为常数提到积分5外，W此上式“端笏T第十章重积分101fix/=j[dy^/(*，y)tk.而在这个积分中，由于f/2(y)dy为常数，故又可提到积分号外，从而得到•f2,y)^xAy=[|/2(y)dj]-[Jn/,(x)dx]证毕.^4.化二重积分/=Jf(x，y)daI)为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分)，其中积分区域£是:(1)由直线及抛物线y2=4x所围成的闭区域；(2)由x轴及半圆周/+y2=r2(y英0)所围成的闭区域；(3)由直线y=x，；c=2及双曲线：K=^-(*0)所围成的闭区域；X(4)环形闭区域IU，y)|1+y2^4(.解(1)直线y=x及抛物线y2=4;c的交点为(0,0)和(4,4)(图10-6).于是f(x,y)dy,(2)将/)用不等式表示'fyO^y^r2-x2，-r^W/•，于是可将/化为如下的先对y、后对*的二次积分：r/=J(1文Jf(x,y)(\y；如将0叫不等式表示为~Vr2-y2^x^Vr2-y2,0各/•，则可将/化为如卜的先对*、后对y的二次枳分：102一、《高等数学》(第七版)下册习题全解drx,y)dx.(3)如图10-7.:条边界曲线两两相交，先求得3个交点为(1,1)，2,y和(2,2).于是dy(i_/(^,y)+tlj/(x,y)dx.dx•\/4J\xyy)dy+d.vl(1%/T/(A：,y)clr+d.vl■yA-x2/(.r,v)d-f/(.vVv)dv./(.v,v)d.v-f.\/4-、/(\,)d.v-f厂、/4-、•'•I-v^W/(v,y)(l.\.|dxj[f(x,y)dy.注本题说明，将二重积分化为二次积分时，需注意根据积分区域的边界曲线的情况，选取恰当的积分次序.本题中的积分区域/)的上、下边界曲线均分别由—个方程给出，而左边界曲线却分为两段，由两个不同的方程给出，在这种情况下采取先对y、后对^的积分次序比较有利，这样只需做一个二次积分，而如果采用相反的枳分次序则需计算两个二次积分.需要指出，选择积分次序时，还需考虑被积函数/U,y)的特点.具体例子n]'见教材下册第144页上的例2.(4)将D按图10-8(a)和图10-8(1)的两种不同方式則分为4块，分別得第十章重积分103x,r)d.t.(5)(lx\f{x,y)Ay\广2fyix-x2(4)|叫2f{x,y)dy-,fix/-sinx(6)IAx\J(x,y)Ay.JOJ-siny图10-8,5.设/U，Y）在D上连续，其中/）是由直线;==所围成的闭区域，证明dx|f(x,y)Ay证等式两端的二次积分均等于二重积分J/U,y）do•，因而它们相等.I）^6.改换下列二次积分的积分次序：(2)J)dj|：f(x,y)dx；解（丨）所给二次积分等于二重积分J[/U，;K）（^，其中o=丨h，y）1°^^^r-0^j^I（./n|■改写为|Uj）|*矣y矣1，0^^I|（罔10-9）,于是原式=丄ixj/(x,y)dy.(2)所给一.次枳分等于二'Ti积分|/U,y)山，.K:中/)=I|.y2^^2y,00^21.MI)njm为{u’y)I音矣j^7^,0^x在4)(1冬11(-I0)，W此原式=J,i\xjy/(x,y)i\y.104一、《高等数学＞（第七版）下册习题全解-y2^.V^1$、飞V彡1(3)所给二次积分等于二重积分.其中D=:(.v.v)|-V1UX^J1-y2,0彡•彡1;•又D可表示为：(JC，)*)丨0彡y彡V1-.r2,-1=(图10-11)，因此f1fV1-X~原式=J^dxj/(x,v)dy.(4)所给二次积分等于二重积分其中D=:(.v.v)'2-hs/lx-x1%\彡.r彡2:.又D可表示为：(A:,V)|2-1彡.t•彡1+Y1—v2,0:(图10-12)，故原式=丄d)jf(x%y)dx.(5)所给二次积分等于二重积分］|/(.10)(1^,)1:中/)=1(.v.v)|0^v^I)x彡e|•又/)可表示为|(A:，＞•)|e、彡A•彡e，0彡、彡1i(|劄10-1,故原式=L(I.、|,./X.、，.、)(l.v.(6)m1()-14,将积分|:域/)丧示为/),U/)2，其中A),=jU，、)|arcsin^第十章重积分105/(x,y)dx.y广1rir-arcsin原式=Idyf(xyy)c\xJOJarcsin)TT-arcsiny，0彡y彡1|1,D2=|(.r,y)一2arcsin,一1彡)'彡0|.于是rt-x+xydrAy~d\2xc\)''ixE|o»•Y=sinA的