2017-2019三年高考-数学(文科)分类汇编-专题18-坐标系与参数方程

专题18坐标系与参数方程1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221141txttyt，（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．【答案】（1）221(1)4yxx；l的直角坐标方程为23110xy；（2）7．【解析】（1）因为221111tt，且22222222141211yttxtt，所以C的直角坐标方程为221(1)4yxx．l的直角坐标方程为23110xy．（2）由（1）可设C的参数方程为cos,2sinxy（为参数，ππ）．C上的点到l的距离为π4cos11|2cos23sin11|377．当2π3时，π4cos113取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7．【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中，O为极点，点000(,)(0)M在曲线:4sinC上，直线l过点(4,0)A且与OM垂直，垂足为P．（1）当0=3时，求0及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．【答案】（1）023，l的极坐标方程为cos23；（2）4cos,,42．【解析】（1）因为00,M在C上，当03时，04sin233．由已知得||||cos23OPOA．设(,)Q为l上除P的任意一点．在RtOPQ△中，cos||23OP，经检验，点(2,)3P在曲线cos23上．所以，l的极坐标方程为cos23．（2）设(,)P，在RtOAP△中，||||cos4cos,OPOA即4cos．因为P在线段OM上，且APOM，故的取值范围是,42．所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos,,42．【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型．3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，在极坐标系Ox中，(2,0)A，(2,)4B，(2,)4C，(2,)D，弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2，(1,)，曲线1M是弧AB，曲线2M是弧BC，曲线3M是弧CD．（1）分别写出1M，2M，3M的极坐标方程；（2）曲线M由1M，2M，3M构成，若点P在M上，且||3OP，求P的极坐标．【答案】（1）1M的极坐标方程为π2cos04，2M的极坐标方程为π3π2sin44，3M的极坐标方程为3π2cosπ4．（2）π3,6或π3,3或2π3,3或5π3,6．【解析】（1）由题设可得，弧,,ABBCCD所在圆的极坐标方程分别为2cos，2sin，2cos．所以1M的极坐标方程为π2cos04，2M的极坐标方程为π3π2sin44，3M的极坐标方程为3π2cosπ4．（2）设(,)P，由题设及（1）知若π04，则2cos3，解得π6；若π3π44，则2sin3，解得π3或2π3；若3ππ4，则2cos3，解得5π6．综上，P的极坐标为π3,6或π3,3或2π3,3或5π3,6．【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题．4．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,2,42AB，直线l的方程为sin34．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．【答案】（1）5；（2）2．【解析】（1）设极点为O．在△OAB中，A（3，4），B（2，2），由余弦定理，得AB=223(2)232cos()524．（2）因为直线l的方程为sin()34，则直线l过点(32,)2，倾斜角为34．又(2,)2B，所以点B到直线l的距离为3(322)sin()242．【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线1C的方程为||2ykx．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22cos30．（1）求2C的直角坐标方程；（2）若1C与2C有且仅有三个公共点，求1C的方程．【答案】（1）2C的直角坐标方程为22(1)4xy．；（2）1C的方程为4||23yx．【解析】（1）由cosx，siny得2C的直角坐标方程为22(1)4xy．（2）由（1）知2C是圆心为(1,0)A，半径为2的圆．由题设知，1C是过点(0,2)B且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为1l，y轴左边的射线为2l．由于B在圆2C的外面，故1C与2C有且仅有三个公共点等价于1l与2C只有一个公共点且2l与2C有两个公共点，或2l与2C只有一个公共点且1l与2C有两个公共点．当1l与2C只有一个公共点时，A到1l所在直线的距离为2，所以2|2|21kk，故43k或0k．经检验，当0k时，1l与2C没有公共点；当43k时，1l与2C只有一个公共点，2l与2C有两个公共点．当2l与2C只有一个公共点时，A到2l所在直线的距离为2，所以2|2|21kk，故0k或43k．经检验，当0k时，1l与2C没有公共点；当43k时，2l与2C没有公共点．综上，所求1C的方程为4||23yx．6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos4sinxθyθ，（θ为参数），直线l的参数方程为1cos2sinxtαytα，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．【答案】（1）曲线C的直角坐标方程为221416xy，l的直角坐标方程为1x；（2）l的斜率为2．【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为221416xy．当cos0时，l的直角坐标方程为tan2tanyx，当cos0时，l的直角坐标方程为1x．（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程22(13cos)4(2cossin)80tt．①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为1t，2t，则120tt．又由①得1224(2cossin)13costt，故2cossin0，于是直线l的斜率tan2k．7．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】在平面直角坐标系xOy中，O⊙的参数方程为cossinxy，（为参数），过点02，且倾斜角为的直线l与O⊙交于AB，两点．（1）求的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．【答案】（1）的取值范围是(,)44．；（2）点P的轨迹的参数方程是2sin2,222cos222xy(为参数，44)．【解析】（1）O的直角坐标方程为221xy．当2时，l与O交于两点．当2时，记tank，则l的方程为2ykx．l与O交于两点当且仅当22||11k，解得1k或1k，即(,)42或(,)24．综上，的取值范围是(,)44．（2）l的参数方程为cos,(2sinxttyt为参数，44)．设A，B，P对应的参数分别为At，Bt，Pt，则2ABPttt，且At，Bt满足222sin10tt．于是22sinABtt，2sinPt．又点P的坐标(,)xy满足cos,2sin.PPxtyt所以点P的轨迹的参数方程是2sin2,222cos222xy(为参数，44)．8．【2018年高考江苏卷数学】在极坐标系中，直线l的方程为πsin()26，曲线C的方程为4cos，求直线l被曲线C截得的弦长．【答案】直线l被曲线C截得的弦长为23．【解析】因为曲线C的极坐标方程为=4cos，所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为πsin()26，则直线l过A（4，0），倾斜角为π6，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB=π6．连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=π2，所以π4cos236AB．因此，直线l被曲线C截得的弦长为23．9．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos,sin,xy（θ为参数），直线l的参数方程为4,1,xattyt（为参数）．（1）若1a，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为17，求a．【答案】（1）(3,0)，2124(,)2525；（2）8a或16a．【解析】（1）曲线C的普通方程为2219xy．当1a时，直线l的普通方程为430xy．由22430,19xyxy解得3,0xy或21,2524.25xy从而C与l的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525．（2）直线l的普通方程为440xya，故C上的点(3cos,sin)到l的距离为|3cos4sin4|17ad．当4a时，d的最大值为917a．由题设得91717a，所以8a；当4a时，d的最大值为117a．由题设得11717a，所以16a．综上，8a或16a．【名师点睛】本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数a的值．10．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为cos4．（1）M为曲线1C上的动点，点P在线段OM上，且满足||||16OMOP，求点P的轨迹2C的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为(2,)3，点B在曲线2C上，求OAB△面积的最大值．【答案】（1）22240xyx；（2）23．【解析】（1）设P的极坐标为(,)(0)，M的极坐标为1(,)1(0)，由题设知cosOPOM=14=,=．由16OMOP得2C的极坐标方程cos4(0)．因此2C的直角坐标方程为22240xyx．（2）设点B的极坐标为,0BB，由题设知2,4cosBOA，于是OAB△的面积S13