初三锐角三角函数知识点总结、典型例题、练习(精选)

1三角函数专项复习锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。222cba2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：定义表达式取值范围关系正弦斜边的对边AAsincaAsin1sin0A(∠A为锐角)BAcossinBAsincos1cossin22AA余弦斜边的邻边AAcoscbAcos1cos0A(∠A为锐角)正切的邻边的对边AtanAAbaAtan0tanA(∠A为锐角)3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0°30°45°60°90°sin02122231cos12322210tan03313-5、正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。6、正切的增减性：当0°90°时，tan随的增大而增大，7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。依据：①边的关系：222cba；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)BAcossinBAsincos)90cos(sinAA)90sin(cosAAA90B90得由BA对边邻边斜边ACBbac28、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。仰角铅垂线水平线视线视线俯角(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即hil。坡度一般写成1:m的形式，如1:5i等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么tanhil。3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东45°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西45°（西南方向），北偏西45°（西北方向）。类型一：直角三角形求值例1．已知Rt△ABC中，,12,43tan,90BCAC求AC、AB和cosB．例2．已知：如图，⊙O的半径OA＝16cm，OC⊥AB于C点，43sinAOC求：AB及OC的长．例3.已知A是锐角，178sinA，求Acos，Atan的值:ihlhlα3对应训练：1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB=5，则tanA的值为A．55B．255C．12D．22．在△ABC中，∠C=90°，sinA=53，那么tanA的值等于（）.A．35B.45C.34D.43类型二.利用角度转化求值：例1．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．DE∶AE＝1∶2．求：sinB、cosB、tanB．例2．如图，直径为10的⊙A经过点(05)C，和点(00)O，，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为（）A．12B．32C．35D．45对应训练:3.如图，O⊙是ABC△的外接圆，AD是O⊙的直径，若O⊙的半径为32，2AC，则sinB的值是（）A．23B．32C．34D．434.如图4，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知8AB，10BC，AB=8,则tanEFC∠的值为()DCBAOyx第8题图4Ａ．34Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45ADECBF第18题图类型三.化斜三角形为直角三角形例1如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．例2．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．求：sin∠ABC的值．对应训练1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）2．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sinB．3.△ABC中，∠A=60°，AB=6cm，AC=4cm，则△ABC的面积是A.23cm2B.43cm2C.63cm2D.12cm2类型四：利用网格构造直角三角形例1如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．2555对应训练：1．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.2．正方形网格中，AOB∠如图放置，则tanAOB∠的值是（）A．55B.255C.12D.2类型五:取特殊角三角函数的值1）.计算：60tan45sin230cos2．2）计算：30cos245sin60tan2.3)计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°4)．计算：030tan2345sin60cos221．5)．计算：tan45sin301cos60；类型六：解直角三角形的实际应用例1．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）CBAABO图26A．200米B．200米C．220米D．100（）米例2．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离m23DE，求点B到地面的垂直距离BC．例3如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD=30m．从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端A的仰角∠DCA=60°，测得山顶B的仰角∠DCB=30°，求风力发电装置的高AB的长．对应训练:1..如图，小聪用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度.2．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（）A．10米B．10米C．20米D．米类型七:三角函数与圆：ABCDE7例1．如图，直径为10的⊙A经过点(05)C，和点(00)O，，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为（）A．12B．32C．35D．45例2.已知：在⊙O中,AB是直径，CB是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点D,(1)求证：∠AOD=2∠C(2)若AD=8，tanC=34，求⊙O的半径。对应训练:1.如图，DE是⊙O的直径，CE与⊙O相切，E为切点.连接CD交⊙O于点B，在EC上取一个点F，使EF=BF.（1）求证:BF是⊙O的切线;（2）若54Ccos,DE=9，求BF的长．DBOACDCBAOyx第8题图CFDOBE8CBA作业：1．已知21sinA，则锐角A的度数是()A．75B．60C．45D．302．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB=5，则tanA的值为()A．55B．255C．12D．23．在△ABC中，∠C=90°，sinA=53，那么tanA的值等于（）.A．35B.45C.34D.434.若sin32，则锐角＝.5．将∠α放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则tanα的值是A．21B．2C．25D．5526．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若OB长为10，3cos5BOD，则AB的长是A.20B.16C.12D.87.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosA=54，那么tanA的值是()A．53B．35C．43D．348．如图，在△ABC中，∠ACB=∠ADC=90°，若sinA=35，则cos∠BCD的值为．9.计算：60tan45sin230cos210．计算45tan30tan345cos260sin2.αDCBA911．计算：22sin604cos30+sin45tan60．12．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=64，b=212.解这个直角三角形13.已知：在⊙O中,AB是直径，CB是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点D,(3)求证：∠AOD=2∠C(4)若AD=8，tanC=34，求⊙O的半径。14．如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30，荷塘另一端D处C、B在同一条直线上，已知32AC米，16CD米，求荷塘宽BD为多少米？（结果保留根号）15．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处.（1）B处距离灯塔P有多远？（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，距离灯塔200海里的O处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由．DBOAC