第三章 单相正弦交流电路

第三章单相正弦交流电路第一节正弦交流电的基本概念第二节正弦量的相量表示法第三节基尔霍夫定律的相量形式第四节正弦交流电路中的电阻元件第五节正弦交流电路中的电感元件第六节正弦交流电路中的电容元件第七节电阻、电感和电容元件串联的正弦交流电路第八节复阻抗和复导纳第九节阻抗的串联和并联第十节正弦交流电路的功率第十一节功率因数的提高第十二节正弦交流电路中的谐振第三章小结第一节正弦交流电的基本概念交流电压、交流电流、交流电动势：在一个周期内平均值等于零的周期电压、周期电流、周期电动势。正弦量：按正弦规律变化的物理量的统称。正弦电流、正弦电压、正弦电动势：随时间按正弦规律变化的电流、电压、电动势。正弦交流电：正弦电流、电压、电动势的统称。交流电路：通过交流电流的电路。正弦交流电路：电路中所有电压、电流、电动势都是正弦量的电路。在一定的参考方向下，正弦电流可表示为)sin(imtIi正弦电流的波形图正弦量的主要特征：大小、变化的快慢及变化的进程一、周期、频率与角频率周期：正弦量完成一个循环的变化所需要的时间。用T表示，单位为秒（s）。频率：正弦量在单位时间内变化所完成的循环数。用f表示，单位为赫兹（Hz）。角频率：正弦量在单位时间内变化的角度，即每秒变化的弧度数。用ω表示，单位为弧度/秒（rad/s）。Tf1周期、频率和角频率都是表示正弦量变化快慢的量，周期愈大，正弦量变化愈慢；角频率愈大，频率愈高，正弦量变化愈快。f2T2三者之间的关系：【例3－1】已知电流，试求该电流的周期T和频率。解ssfTHHfsradZZ02.050115021002100二、瞬时值、幅值与有效值瞬时值：随时间变化的电压或电流在某一时刻的数值。幅值：正弦量在变化过程中出现的最大瞬时值，又称最大值。大写字母加下标m来表示，如Im、Um、Em。有效值：如果一个周期性电流i通过某一电阻R，在一个周期内产生的热量与另一个直流电流I通过电阻R在相等的时间内产生的热量相等，则将此直流电流的数值I称为该周期性电流的有效值。大写字母表示，如I、U、E。RTIRdti2T02由此可得到周期电流的有效值TdtiTI021设i=Imsin(ωt+ψi)时22121102022mTimTimIdt)]t(cos[ITdt)t(sinITI周期量的有效值等于它的瞬时值的平方在一个周期内的平均值的平方根，因此有效值又称均方根值。2102mTUdtuTU2102mTEdteTE2102mTIdtiTI【例3－2】已知电压u=311sin(100πt+)V，试求电压的有效值U及t=0.01s时电压的瞬时值。解V220UUm23112t=0.01s时V155.5V)21(-311V)311sin(πV)0.01311sin(100u666三、相位、初相位与相位差相位角或相位：正弦量的数学表达式中的角度（ωt+ψi）反映正弦量变化的进程。初相位或初相：t=0时正弦量的相位角。初相反映正弦量在计时起点的状态。初相与参考方向和计时起点的选择有关。正弦量的三要素：幅值、角频率（或频率）和初相位。两个同频率正弦量的相位差u=Umsin(ωt+ψu)i=Imsin(ωt+ψi)π≤︱︱取值范围u和i的相位之差iuiutt)()(相位差：两个同频率的正弦量的相位角之差。0iu0iu超前滞后u在相位上超前i角度，或，i在相位上滞后u角度。u在相位上滞后i角度，或，i在相位上超前u角度。0iuiu电压u与电流i同相位，简称同相电压u与电流i反相【例3－3】已知电路中某条支路的电压u和电流i为工频正弦量，它们的最大值分别为311V、5A，初相分别为π/6和－π/3。（1）试写出它们的解析式；（2）试求u与i的相位差，并说明它们之间的相位关系。解。2u滞后i，在相位上，；2i超前u在相位上，236A)3t100(5sin)t(sinIiV)6t100(311sin)t(sinUu365AIV311Urad/s100rad/s502f2iuimumiumm或者说第二节正弦量的相量表示法一、正弦量的旋转矢量表示法旋转矢量的长度代表正弦量的幅值旋转矢量的初始位置与横轴正方向的夹角代表正弦量的初相位旋转矢量的角速度代表正弦量的角频率旋转矢量任一瞬时在纵轴上的投影表示正弦量在该时刻的瞬时值正弦量可以用旋转矢量来表示二、正弦量的相量表示法复数→正弦量i矢量→复数ijmmeIIIIeeIIiijjmm22其中ijIeI复数的极坐标形式iimmIIII正弦量相量：表示正弦量的复数。正弦量的幅值（最大值）相量：以正弦量的幅值（最大值）为模，辐角等于正弦量的初相位的复数。正弦量的有效值相量：以正弦量的有效值为模，辐角等于正弦量的初相位的复数。相量图：用复平面上的矢量表示相量的图形。在相量图中，习惯上用表示相量的符号来表示对应的矢量。正弦量与复数和矢量之间存在着一一对应的关系。正弦量既可以用复数表示，也可以用矢量表示。但正弦量既不是复数，也不是矢量。几点说明只有正弦量（包含余弦量）才能用相量表示，非正弦周期量不能直接用相量表示。只有同频率的正弦量的相量之间才能进行相量运算，不同频率的正弦量的相量之间不能进行相量运算。一般情况下，只有同频率的正弦量的相量才能画在同一相量图上，不同频率的正弦量的相量不能画在同一相量图上，否则无法比较和计算。作相量图时，往往把坐标轴省略不画。【例3－4】已知正弦电压u和正弦电流i的解析式为：u=220sin(314t+π/6)V，i=5sin(314t－π/4)A，试写出它们的有效值相量，并画出它们的相量图。解u和i的有效值相量为AIVU456220的相量如图和IU【例3－5】已知f=50HZ，试写出下列相量所代表的正弦量的解析式。。－，－，－－，VjUVUAjIAjI)3110110()120380()232()535(2121解V6t22tUuVVUVttUuVUAttIiAAIAttIiAAIrad/s100f22U22UUUiiii)0100sin(20)sin(2601103110arctan220)3110(110)120100sin(2380)sin(2120380)150100sin(24)sin(2150322arctan18042)32()30100sin(210)sin(23031arctan355arctan105)35(21122211122222221111221第三节基尔霍夫定律的相量形式一、基尔霍夫电流定律的相量形式0I电流参考方向指向节点：取“＋”号电流参考方向离开节点：取“－”号0)(tiKCL的瞬时值形式KCL的相量形式在正弦稳态电路中，流过任一节点的所有支路电流相量的代数和等于零。在集中参数电路中，任一时刻，连接于任一节点的所有支路电流的代数和等于零。二基尔霍夫电压定律的相量形式0UKVL的相量形式0)t(uKVL的瞬时值形式任一时刻，沿集中参数电路中任一回路的所有支路电压的代数和等于零。在正弦稳态电路中，沿任一回路的所有支路电压相量的代数和等于零。支路电压的参考方向与回路绕行方向一致时，取“＋”号，反之取“－”号。【例3－6】已知图（a）所示电路中通过元件1和2的电流分别为：i1=100sin(314t+2π/3)A，i2=200sin(314t+π/6)A，（1）用相量式求总电流；（2）用相量图求总电流。解AtiAAjAjjIIIKCLAjAIAjAIIIii)57.56314sin(260.22357.5660.223)60.18620.123()100310035050()1003100(6200)35050(32100)1(21212121＋＝＋＋＋－＋得：由＋＝＋－＝来表示：和用相量和用相量式求解，将电流）所示。如图（的初相位，流正方向的夹角即为总电与横轴的有效值，的长度代表电流），表示，且简称为相量相量图，也用的的矢量，即将便，常将表示相量（为了叙述方的相量就是总电流线，对角形为两邻边作一平行四边和，以和的相量图和先作出用相量图求解biOBiOBIIIIIiOBOABCIIIIii212121)2(【例3－7】在图示电路中，。（1）用相量式求电路端口电压u；（2）用相量图求电路端口电压u。解（1）用相量式求解将uR、uL和uC用相量表示：，，VtuVtuLR)90314sin(2360314sin2180VtuC)90314sin(170VUR0180VjUL360V90360VjUC120V902170由KVL得：VjjjUUUUCLR1.53300V)240180(V)120360180(Vtu)13.53314sin(2300（2）用相量图求解的解析式。的初相位，据此可写是角就与实轴正方向之间的夹值，相量的有效的长度代表电压图中相量）所示。。所作出的相量如图（即为的终点的相量，此相量的起点指向相量；作从相量的相量点，作滞后的起的终点作为相量；再以相量的相量的起点，作超前作为相量的终点；以相量首先作出相量uuUuUbUUUUUUUUUUUUCRCRCLLRLRR9090第四节正弦交流电路中的电阻元件一、电阻元件的电压与电流的关系u、i取关联参考方向，设i=Imsinωt∴u=Ri=RImsinωt=UmsinωtRUmmmmIRIU或u和i的有效值之间的关系为RIRIUUmm22RIU或电阻元件的电路图结论：当电阻元件中通以正弦交流电流时，其端电压为一同频率的正弦量；当电压和电流取关联参考方向时，电压与电流的相位相同；电阻元件的电压和电流的瞬时值之比、幅值之比及有效值之比都等于电阻R。电阻元件的电压、电流和瞬时功率的波形图0UU0II相量形式IRRIUU00电阻元件的电压相量等于电阻乘以电流相量。相量电路模型：将电路中的所有正弦电压和电流都用对应的相量替代，将所有电路元件的参数都有复数表示所得的电路模型。电阻元件的相量模型电阻元件的电压和电流的相量图1．瞬时功率瞬时功率：电路在某一瞬时吸收或发出的功率，p。电路元件的瞬时功率等于元件端电压的瞬时值与元件中电流的瞬时值的乘积。u、i取关联参考方向，电阻元件所吸收的瞬时功率p=ui=UmImsin2ωt=UI（1－cos2ωt）电阻元件所吸收的瞬时功率p是随时间变化的。电阻元件R所吸收的瞬时功率恒为非负值。电阻元件是一个耗能元件。R元件的电压、电流和瞬时功率的波形图二、电阻元件的功率平均功率：电路的瞬时功率在一个周期内的平均值，P，单位为瓦（W）。电阻元件的平均功率UIdttUIUIpdtTT00)2cos(T1P∵U=IRRU22RIUIP2．平均功率【例3－8】有一额定电压UN=220V、额定功率PN=1000W的电炉，若加在电炉上的电压为u=200sin(314t+π/4)V，试求通过电炉丝的电流i和电炉的平均功率P。解A13.4A40.48200RUI40.481000220R22NNPU设电流i与电压u取关联参考方向，则有W826W4.13200IUPA)44t5.84sin(31A)44t4.13sin(