第三章 向量与线性方程组

第三章向量与线性方程组3.1线性方程组解的存在性3.2向量组的线性相关性3.3向量组的秩3.4向量空间3.5线性方程组解的结构机动目录上页下页返回结束3.1线性方程组解的存在性3.1.1高斯（Gauss）消元法本节讨论线性方程a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,as1x1+as2x2+…+asnxn=bs的消元法.………………机动目录上页下页返回结束先看例子解方程组：2x1x2+3x3=1,4x1+2x2+5x3=4,2x1+2x3=6.第二个方程减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，得2x1x2+3x3=1,4x2x3=2，x2x3=5;同解方程组62024524131251102140131212122rrrr机动目录上页下页返回结束交换第二、三个方程2x1x2+3x3=1,x2x3=5,4x2x3=2;第三个方程减去第二个方程的4倍2x1x2+3x3=1,x2x3=5,=18;3x32x1x2+3x3=1,4x2x3=2，x2x3=5;21405110131223rr5110214013121830051101312234rr机动目录上页下页返回结束第三个方程乘以312x1x2+3x3=1,x2x3=5,x3=6;第二个方程加第三个方程2x1x2+3x3=1,x2=1,x3=6;2x1x2+3x3=1,x2x3=5,=18;3x3183005110131261051101312331r6101010131232rrx1=9,x2=1,x3=6.机动目录上页下页返回结束在上述求解过程中，不难看出，我们实际上反复对方程组进行如下三个基本变换：1.用一非零数乘某一方程，2.把一个方程的倍数加到另一个方程，3.互换两个方程的位置.上述三种变换称为线性方程组的初等变换.方程组经初等变换变成同解方程组.求解方程组的过程实际上等价于对矩阵施行类似的三种初等变换bAA机动目录上页下页返回结束设非齐次线性方程组.有无穷多解bAxARAR.无解bAx.有唯一解bAxbAx其中系数矩阵为矩阵，为增广矩阵AnmbAA则nARARnARAR定理3-1其中为未知量的个数nnARAR机动目录上页下页返回结束齐次线性方程组000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa0AX简记为机动目录上页下页返回结束齐次线性方程组只有零解（唯一解）110mnnmAxrAn，该方程组必有非零解（无穷解）110mnnmAxnAR推论1定理3-2齐次线性方程组中方程个数度少于未知量nm个数齐次线性方程组有非零解（无穷解）nmAR机动目录上页下页返回结束推论2机动目录上页下页返回结束方程个数与未知量相同的齐次线性方程组有非零解0AX0A方程个数与未知量相同的齐次线性方程组只有零解（系数矩阵A可逆）0AX0Axyo21,aaF21,aaF显然数域F上的n个数所组成的有序数组称为数域F上的一个n维向量（vector),其中称为第i个分量(component)naaa,,,21naaa,,,21ia定义3-1以后我们用小写希腊字母来代表向量而用小写拉丁字母来代表数。,,cba,,机动目录上页下页返回结束维行向量也称为naaan,,,21维列向量称为naaan21故矩阵维列行向量就是一个一个矩阵；维行向量就是一个注：一个,11nnnnTnnaaaaaa,,,2121分量全为零的向量称为零向量。0,,0,0线性方程组中的每个方程对应一个行向量.方程之间的关系对应着向量之间的关系.14426)4(11534)3(3112)2(4321)1(1442611534324324321，，，，，，，，，，，，对应关系为：中，各方程与向量的例如：在下面的方程组zyxzyxzyxzyx维向量。都是一个程组的每一个解个未知量的任一线性方nn维列向量。可写成元线性方程组的解向量一般地，即有一个解向量为有解即方程组nnyxyxyxyxyx5.05.05.05.001111101矩阵。构成一个维向量按列排列，就可个将矩阵。成一个向量按行排列，就可构维个反之，将维向量而它的每一列都是维向量矩阵的每一行都是一个一个nmmnnmnmmnnm;,mnmmnnaaaaaaaaa212222111211机动目录上页下页返回结束12nb线性方程组mnmnmmnnbbbxxxaaaaaaaaa2121212222111211X维列向量个mn维列向量n维列向量m机动目录上页下页返回结束nnnnbabababbbaaa,,,21,,,,,,22112121）定义两个向量的和为（。等时称这两个向量相等）当它们的对应分量相（，，设k(3)数乘运算设为数域中的数，向量与数的数量乘积。记为称为向量naaa,,,21nkakaka,,,21kkF加法运算与数乘运算满足性质0403)()(210000为数维向量，是lknkkklklkkllk,,)(87)()(6150000机动目录上页下页返回结束注：零向量和负向量是唯一的加法的逆运算是减法。线性运算：上述向量的加法及数乘运算称为向量的线性运算00,0)4(.00)3(;)1()2(00)1(或则如果kk显然,有:8,5,52,1,33,2,1321设显然2132组合系数。为在该向量组下的称系数的线性组合是或称线性表示，，，，可由称若有，，，，维向量设mmmmmmkkkkkkn,,,,,,,,212121221121定义3-2由于，，，，，，，，，，，，的向量中，考虑各方程对应例如：在下面的方程组14426)4(11534)3(3112)2(4321)1(1442611534324324321zyxzyxzyxzyx213221432422的线性组合。与也是的线性组合，与都是及3242143所以例如：12342100050100,,,,3001000001有2100050100253030010000011234=2530即所以，称是的线性组合，或可以由线性表示。1234,,,1234,,,问题：1零向量是任何向量的线性组合，为什么？2任何向量都可由它本身所在的向量组线性表示么？miiim0010020000112121答：nnnnTnTTnaaaaaaRn2211212121,,,:),,,1,,0,00010001示基本单位向量组线性表中的向量都可由显然，任意一个为基本单位向量组。（或它们的转置，，，，，，，，，，维向量组一般地，我们称11112211211222221122mmmmnnnmmnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbT1T2TmT即线性方程组T11xT21xTmmxT或线性方程组11x22xmmx线性方程组本质上是线性表示能否由向量，，m21T11xT21xTmmxT或线性方程组11x22xmmx是否有解出表示式。的线性组合。若是，写，，，，，，，是否为向量组，，，与，，，判定向量1112512111034111342121变换）的增广矩阵作初等行对方程组（是否分别有解。和知，只要考虑方程组由定理1)2()1(2221112211TTTTTTxxxx例解0000001102010000001104219903305504211115111312421,,~121TTTA此步可省给定两个向量组9,6,33,2,11219,0,03,2,1221两组均写成02211kk显然21两组当成立时021kk区别在于1成立使尚存在不全为零的之外除2121,0kk，kk2122.1,3kkkk和找不到这样的如显然两个向量组的向量之间有着本质的区别，为此引进线性相关性的概念.A,A0,,,,,,,,:22112121线性无关否则称向量组线性相关称向量组使如果存在不全为零实数给定向量组mmmmkkkkkkA定义3-3线性相关l.dLineardependence线性无关Linearindependencel.i注二者必居其一。或者线性无关，或者线性相关一个向量组.,,,,121m为零时才成立。全只在系数式线性无关等价于等，，，由定义可见：mmmmkkkkkk,,,0221221121反之亦然。立使等式成尚存在不全为零的为零时成立之外全在系数式线性相关指等，，，由定义可见：，kkk，kkkkkkmmmmm,,,,,032121221121线性无关单个非零向量4。解零只有即方程组02211mmkkk。解零有非即方程组02211mmkkk21215k，线性相关两个向量即两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例（6）任意一个包含零向量的向量组必线性相关.1,,0,0001000121n，，，，，，，，，，（7）基本单位向量组一定线性无关机动目录上页下页返回结束线性无关则线性无关设321321321211321,,,，，，，，0332211kkk设0321321211kkk0332321321kkkkkk线性无关321，，000332321kkkkkk线性方程组只有零解线性无