氢原子薛定谔方程的解5

第十一章量子物理氢原子薛定谔方程的解哈尔滨工程大学理学院定态薛定谔方程为：11.9氢原子的薛定谔方程的解1、氢原子的定态薛定谔方程rerV2041)(氢原子中电子绕原子核的运动，相当于核不动，电子绕核作圆周运动。若其半径为r，则其势能函数为由于势能只与r有关，是球对称的，而与方向无关，为了计算方便，采用球坐标。球坐标下的拉普拉斯算符为：第十一章量子物理氢原子薛定谔方程的解哈尔滨工程大学理学院在球坐标系下：,cossinrx,sinsinry,cosrzzyx在球坐标系下的薛定谔方程：此偏微分方程可以用分离变数法化成常微分方程求解，即设代入上式得：)()()(rR第十一章量子物理氢原子薛定谔方程的解哈尔滨工程大学理学院方程（1）的解为2,1,0)(limmAel方程（2）的解为)(coscos)cos1()(2/2lmmmPddlll由标准化条件决定：l=0,1,2,•••••,同时限定给定一lml只能取下列2l+1lml2,1,0第十一章量子物理氢原子薛定谔方程的解哈尔滨工程大学理学院是连带的勒让德函数角度部分的解：imlmmmlmePddNYlll)(coscos)cos1(),(2/2方程（3）的解为)2()2(01200narLnareNRllnlnarnlnl其中：Nnl为归一化常数，为一常数，220mea12llnL为缔合勒盖尔多项式。同时规定了l的取值范围，即对于某一确定n,l可能取n个值：l=0,1,2,…n-1氢原子的波函数：),()(),,(lmnlnlmYrRr第十一章量子物理氢原子薛定谔方程的解哈尔滨工程大学理学院讨论n、l、ml参数的物理意义为主量子数或称能量量子数。（1）能量量子化在求解方程（3）时，电子处于束缚态时，E只能取一些分立的负值，即：能级公式n=1的能级称为基态能级n1的能级称为激发态能级,取值如下：第十一章量子物理氢原子薛定谔方程的解哈尔滨工程大学理学院如图所示，n增大时，能级间隔减小；n很大时间隔非常小，可看成连续变化。126534氢原子能级图-13.6eV-3.39eV-1.51eV-0.85eVEnl主量子数n第十一章量子物理氢原子薛定谔方程的解哈尔滨工程大学理学院（2）角动量量子化方程（2）得到的波函数()表明：电子绕核转动的角动量是量子化的，其大小为：其中：l称为角量子数或称副量子数。用来描述波函数的空间对称性。说明：1、L只能取由l决定的一系列分立值，即量子化。2、不同的n值，只要l=0，则L=03、对于同一n值，l不同时，L有不同的值。所以氢原子内电子的运动状态必须同时用n,l才能确切地表征。一般s、p、d、f、g……等字母表示l=0,1,2,……，显然，对于s态的电子来说，其动量矩L=0.第十一章量子物理氢原子薛定谔方程的解哈尔滨工程大学理学院（3）角动量的空间取向量子化方程（1）得到的波函数()表明：电子绕核转动的角动量空间取向是量子化的，设：外磁场方向为Z轴方向，Lz表示L在外场方向投影大小，则这里的ml即为前面讲的m，称为磁量子数。对应一个l，ml有2l+1个值，即角动量的空间取向有2l+1种可能。索末菲在1915-1916年提出：氢原子中的电子绕核作圆周轨道运动，轨道平面在空间的取向不是任意的，而只能取有限的特定方位，这既是轨道空间量子化假设。第十一章量子物理氢原子薛定谔方程的解哈尔滨工程大学理学院如图，即为n=4(l=0,1,2,3)电子的角动量空间取向量子化的情形ml=Lz/h1-100011-1-1-2-2223-3第十一章量子物理氢原子薛定谔方程的解哈尔滨工程大学理学院（4）电子自旋电子具有自旋是由施特恩和盖拉赫用实验证明的。在相对论动力学中，由理论推导电子必须具有自旋；但在非相对论动力学中，电子的自旋是根据实验引进的。KBNSPK原子射线；B狭缝；NS磁场；P照相板结果：无外场时，P上沉积一条正对B的痕迹；有外场时，出现几条不连续的线状痕迹。此实验最初用s态银原子进行，原子射线分裂为二条，且二者偏转上下对称。因s态原子l=0本身无动量矩和磁矩。第十一章量子物理氢原子薛定谔方程的解哈尔滨工程大学理学院1925年伦贝克提出：电子不能看成简单的点电荷，除绕核的磁矩外，还有固有磁矩，该磁矩称自旋磁矩。量子力学的计算：自旋动量矩S为自旋动量矩也是量子化的，它在外场方向投影Sz只能有如下两种取值：第十一章量子物理氢原子薛定谔方程的解哈尔滨工程大学理学院确定氢原子的状态的四个量子数主量子数决定电子的能量。角量子数决定电子轨道角动量磁量子数决定轨道角动量的空间取向，自旋磁量子数决定自旋角动量的空间取向，。为正时，称为自旋向上。为负时，称为自旋向下。