维纳过程1-冯海林-2014

随机过程引论2014秋季学期IntroductiontoStochasticProcess西安电子科技大学——数学与统计学院冯海林SchoolofMathematicsandStatisticsXidianUniversity布朗运动及其定义布朗运动的一些性质主要内容与布朗运动的相关的随机过程本章作业：1、2、3、6、8随机过程引论2014秋季学期IntroductiontoStochasticProcess西安电子科技大学——数学与统计学院冯海林SchoolofMathematicsandStatisticsXidianUniversity布朗运动自然现象——物理解释——数学定义1827年——1905——1918年以后Brown——Einstein——Wiener布朗运动及其推广在经济、工程、管理及数理统计等领域有广泛应用。随机过程引论2014秋季学期IntroductiontoStochasticProcess西安电子科技大学——数学与统计学院冯海林SchoolofMathematicsandStatisticsXidianUniversity定义2.2.7称实随机过程W={Wt，t≥0}是标准布朗运动,如果0(1)0W(3)W具有独立增量性．(2)0,~(0,)tsstWWNts对任意随机过程引论2014秋季学期IntroductiontoStochasticProcess西安电子科技大学——数学与统计学院冯海林SchoolofMathematicsandStatisticsXidianUniversity例2.3.5(1)计算标准布朗运动的有限维特征函数提示：利用过程的独立增量性解110nntt,对任意及n维随机变量的12(,,,)nttt(),,...,12(,,...,)E[]ttnnnjWuWutttnuuue随机过程引论2014秋季学期IntroductiontoStochasticProcess西安电子科技大学——数学与统计学院冯海林SchoolofMathematicsandStatisticsXidianUniversity令121112,,,nntttnttYWYWWYWW12,,...,12(,,...,)ntttnuuu1212()()()nYnYnYnuuuuu注意到有21111()21()nuutYnuue211()()2(),k=2,,nknkkkuuttYknuue随机过程引论2014秋季学期IntroductiontoStochasticProcess西安电子科技大学——数学与统计学院冯海林SchoolofMathematicsandStatisticsXidianUniversity例2.3.2试计算标准布朗运动的一、二维分布函数一维分布函数11tF(t;)=P(W≤)xx1t1注意到有N(0,t)W21-2-112xxtedxt二维分布函数为121212t1t2F(,;,)=P(W≤,W≤)ttxxxx1121t1ttt2=P(W≤,W(WW)≤)xx令,则服从分布，服从分布121ttt121W,WWN(0,)N(0,)ttt随机过程引论2014秋季学期IntroductiontoStochasticProcess西安电子科技大学——数学与统计学院冯海林SchoolofMathematicsandStatisticsXidianUniversity所以121212F(,;,)=P(≤,≤)ttxxxx,12P(≤-)xxydy（1122112P(≤-)P)()()xxxytttxydyzdzydy其中为分布的密度函数，为分布的密度函数。121121()N(0,t)()N(0,t-t)tttyz随机过程引论2014秋季学期IntroductiontoStochasticProcess西安电子科技大学——数学与统计学院冯海林SchoolofMathematicsandStatisticsXidianUniversity设W={Wt,t≥0}是标准布朗运动.则()0,(),0,(,)(,)min(,),,,0证明由定义易知有()0,(),0WWmtDttt数字特征对s,t≥0,不妨设s≤t,则随机过程引论2014秋季学期IntroductiontoStochasticProcess西安电子科技大学——数学与统计学院冯海林SchoolofMathematicsandStatisticsXidianUniversity(,)E[]WstRstWW0E[()()]stss独立性(,)(,)()(t)min(,)20E[()()]E[]stss220E[][](E[])sssWDWWs因此,对任意的st有W0R(,)min(,)stst随机过程引论2014秋季学期IntroductiontoStochasticProcess西安电子科技大学——数学与统计学院冯海林SchoolofMathematicsandStatisticsXidianUniversity补例1设W={Wt,t≥0}是标准布朗运动.验证W是一个正态过程.证明由定义，对任意的n≥1,及任意的nttt2102111,,,nnttttt相互独立且所以2111,,,nnttttt（）是n维正态变量.服从正态分布(0,t-t)，11NkkttkkWW随机过程引论2014秋季学期IntroductiontoStochasticProcess西安电子科技大学——数学与统计学院冯海林SchoolofMathematicsandStatisticsXidianUniversity又由于2111(,,,)nnttttt21(,,,)nttt100100110111所以21(,,,)nttt西安电子科技大学——数学与统计学院冯海林SchoolofMathematicsandStatisticsXidianUniversity设W={Wt,t≥0}是标准布朗运动，则W具有对称性即-W={-Wt,t≥0}也是标准布朗运动布朗运动的性质随机过程引论2014秋季学期IntroductiontoStochasticProcess西安电子科技大学——数学与统计学院冯海林SchoolofMathematicsandStatisticsXidianUniversity自相似性即对任意常数a0固定的t0，有Wata1/2Wt随机过程引论2014秋季学期IntroductiontoStochasticProcess西安电子科技大学——数学与统计学院冯海林SchoolofMathematicsandStatisticsXidianUniversity时间逆转性即对固定的T0，定义:Bt=WT–WT-t0≤t≤T则B={Bt0≤t≤T}也是标准布朗运动.(称为W的时间逆转过程).随机过程引论2014秋季学期IntroductiontoStochasticProcess西安电子科技大学——数学与统计学院冯海林SchoolofMathematicsandStatisticsXidianUniversity布朗运动{Wt,t≥0}的轨道是连续的事实上，利用布朗运动定义中的（2）（3）两条件，可以验证布朗运动满足随机过程的柯尔莫哥洛夫（轨道）连续性判断准则。布朗运动的样本轨道性质随机过程引论2014秋季学期IntroductiontoStochasticProcess西安电子科技大学——数学与统计学院冯海林SchoolofMathematicsandStatisticsXidianUniversityt定理3.1.1设X={X,0tT}是连续时间实值随机过程，0,若存在常数，，使，则存在一个连续的连续时间随机过程与等价。1T0,E[],0,tsCXXCtsstTX随机过程引论2014秋季学期IntroductiontoStochasticProcess西安电子科技大学——数学与统计学院冯海林SchoolofMathematicsandStatisticsXidianUniversity例2.2.8如果一个随机过程W满足布朗运动定义中的条件（2）和（3），则对任意的自然数，有2n(2)!E[],,02!nntsnnWWtsstn事实上，对，不妨设则有服从,0,(0,),tsststWWNts则有（记为）2+22()2-212E[]2()(21)()FF=,2()2xntsntsnnxedxWWtsntsts随机过程引论2014秋季学期IntroductiontoStochasticProcess西安电子科技大学——数学与统计学院冯海林SchoolofMathematicsandStatisticsXidianUniversity布朗运动的仿真样本轨道随机过程引论2014秋季学期IntroductiontoStochasticProcess西安电子科技大学——数学与统计学院冯海林SchoolofMathematicsandStatisticsXidianUniversity布朗运动{W(t),t≥0}的轨道是不可微的0(limx)1ttWPt事实上，有