茆诗松概率论与数理统计1.3

1.3概率的性质1/20§1.3概率的性质概率的可加性概率的单调性概率的加法公式概率的连续性1.3概率的性质2/20学习目标1.理解概率的可加性2.理解概率的单调性3.掌握概率的加法公式1.3概率的性质3/20()0P()()()PPP若是两两不相容的事件,则12,,nAAA11()()nnkkkkPAPA11nnkkAAA11()()()()()nnkkPAPAPAPP1()()nPAPA故由可列可加性，有有限可加性0一、概率的性质性质1性质2证明证明因为()0,P所以()0.P1.3概率的性质4/20BA若则,AB()()()PPBPA()()PBPAAB()BABA因互不相容,故由有限可加性有,ABA()()()PPBPA再由概率非负性得()()PPA性质3证明()()()PBAPBPAB一般，对任意A，B有：概率的单调性，反之不成立.1.3概率的性质5/20SBAAB0()1PA()1()PAPA对任何事件有,AB(加法公式)()()()()PABPAPBPAB对于三事件有123,,AAA223311()()()PAAPAAPAA3A2A1A321AAA13AA32AA21AA123()PAAA213()PAAA312()()()PAPAPA挖挖挖补由定义()()1APAP,()()()AAAPAPPA性质4性质5性质61.3概率的性质6/2012()nPAAA对于个事件，有n1()niiPA1()ijijnPAA1()ijkijknPAAA112(1)()nnPAAA全加减二加三挖补规律:加奇减偶1()ijklijklnPAAAA减四1.3概率的性质7/20解：因为P(AB)=P(A)P(AB)，所以先求P(AB)由加法公式得P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.4+0.30.6=0.1.所以P(AB)=P(A)P(AB)=0.3.例1P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.6，求P(AB)（P36例1.3.4）.1.3概率的性质8/20例2设A,B,C为事件，P(A)＝P(Ｂ)＝P(Ｃ)＝1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,求A,B,C至少有一个发生的概率和A,B,C都不发生的概率(P36例1.3.5).解：由于ABCAB0()(),PABCPAB0(),PABC0(),PABC()()()()()()()()PABCPAPBPCPABPACPBCPABC315488.A,B,C都不发生的概率为53188.1.3概率的性质9/20例3设A,B是两个事件，A发生的概率是0.6,A与B都发生的概率为0.1,A与B都不发生的概率是0.15，求：(1)A发生但是B不发生的概率；(2)B发生而A不发生的概率；(3)A与B至少有一个发生的概率.解：依题意，知15.0)(,1.0)(,6.0)(BAPABPAP1.3概率的性质10/20(1)事件“A发生但是B不发生”，即A-B的概率为)()()(ABPAPBAP=0.6-0.1=0.5（2）事件“B发生而A不发生”，即B-A的概率为)()(ABPABP)(BAP1.3概率的性质11/20)()(BAPAP=0.4-0.15=0.25（3）“A与B至少有一个发生”，即AB的概率为)(1)(BAPBAP)(1BAP85.015.011.3概率的性质12/20解：记Ak为“取出的m个球的最大号码为k”，(),1,2,...,.mimiPBinn例4口袋中有编号为1,2,…,n的n个球，从中有放回地任取m次，求取出的m个球的最大号码为k的概率.（课本P34例1.3.3）Bi为“取出的m个球的最大号码小于等于i”,i=1,2,…,n.1,kkkABB1,kkBB所以1()()()kkkPAPBPB(1),1,2,...,.mmmkkknn则由于1.3概率的性质13/2011()()()nniiijijkiiPAPAPAAPAAA1121......()(......)nnPAAA例5（配对模型）n个人、n顶帽子，任意取，求至少一个人拿对自己帽子的概率（P36例1.3.6）.记Ai=“第i个人拿对自己的帽子”，i=1,…,n.求P(A1A2……An)，不可用对立事件公式.用加法公式：1.3概率的性质14/2011()()()nniiijijkiiPAPAPAAPAAA1121......()(......)nnPAAA234111112111123()()()()()()()!nnnnnCCnnnnnnCnnnnn111111234()!!!!nn习题1.314题相同模型1.3概率的性质15/20解：记A为“第k次取到黑球”，则A的对立事件为“第k次取到白球”.而“第k次取到白球”意味着：“第1次……第k1次取到黑球，而第k次取到白球”1(1)()1()1kknPAPAn例6口袋中有n1个黑球、1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球.求第k次取到黑球的概率(P409题）.1.3概率的性质16/20解：因为“乘积能被10整除”意味着：“取到过5”(记为A)且“取到过偶数”(记为B)。因此所求概率为P(AB).()PAB1()PAB利用对立事件公式、德莫根公式和加法公式1()()()PAPBPAB8541999nnnnnn例7从1,2,……,9中重复取n次，求取出的n个数的乘积能被10整除的概率（P408题）.1.3概率的性质17/20利用对称性计算概率：解：记甲正=“甲掷出的正面数”，乙正=“乙掷出的正面数”甲反=“甲掷出的反面数”，乙反=“乙掷出的反面数”因为P{甲正乙正}=P{甲反乙反}=P{n+1-甲正n-乙正}=P{甲正-1乙正}=1P{甲正乙正}所以2P{甲正乙正}=1,由此得P{甲正乙正}=1/2.例8甲掷硬币n+1次，乙掷n次.求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.(对称性)=P{甲正乙正}1.3概率的性质18/20思考：掷2n+1次硬币，则正面次数比反面次数多的概率为？所谓的对称性就是对称事件发生的可能性是相同的。对于两个结构一致、完全处于对称平等位置的事件其发生的概率应该相同。在古典概型中注意到事件的对称性可以简化计算。1.3概率的性质19/20二、事件序列的极限1limnnnnFF1limnnnnFF定义3若事件序列{Fn}满足：F1F2…Fn…则称{Fn}为单调不增事件序列，其极限事件为定义2若事件序列{Fn}满足：F1F2…Fn…则称{Fn}为单调不减事件序列，其极限事件为1.3概率的性质20/20三、集合函数的连续性(lim)lim()nnnnPFPF(lim)lim()nnnnPFPF(2)若对任单调不增集合序列{Fn}，有则称P(·)是上连续的.定义4设P(·)是一个集合函数，(1)若对任单调不减集合序列{Fn}，有则称P(·)是下连续的.1.3概率的性质21/20四、概率的连续性性质7若P(·)是事件域上的一个概率函数，则P(·)既是下连续的，又是上连续的.证明自学.1.3概率的性质22/20五、可列可加性的充要条件性质8若P(·)是事件域上满足：非负性、正则性的集合函数，则P(·)有可列可加性的充要条件是它具有有限可加性和下连续性.证明自学.1.3概率的性质23/20小结1.概率的可加性、单调性2.概率的加法、减法公式3.概率的连续性习题1.36,7,14,16,17,21注：14题是配对问题，参考例1.3.6