新湘教版八年级数学下册第直角三角形的性质和判定

第1章直角三角形1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）第1课时直角三角形的性质和判定湘教版八年级数学下册1.在Rt△ABC中，∠C=90°两锐角之和：∠A+∠B=？直角三角形的两个锐角互余在Rt三角形ABC中，∠C=90°，由三角形内角和定理，可得：∠A+∠B=90°.说一说直角三角形的性质定理1：几何语言表示：∵△ABC为Rt△，∠C=90°，∴∠A+∠B=90o。(直角三角形的两个锐角互余)2.如图，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？分析：由三角形内角和性质，∠A+∠B+∠C=180°，因为∠A+∠B=90°，所以∠C=90°，于是△ABC是直角三角形.有两个角互余的三角形是直角三角形.直角三角形的判定定理2：直角三角形的定义：有一个角是900的三角形是直角三角形.（直角三角形的判定定理1：）几何语言表示：∴△ABC为直角三角形，即∠C=90o.∵∠A+∠B=90o(有两个角互余的三角形是直角三角形)画一个Rt△ABC，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，并度量CD、AB、AD、BD的长度，再比较CD、AB的关系。CD=；AD=；BD=；AB=；你们得到了什么结论？探究CD=AB12在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.结论在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.直角三角形的性质定理2：是否任意一个Rt△ABC都有成立呢？12CDAB（或者说在直角三角形中，斜边等于斜边上的中线的两倍.）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，连结CD,求证：12CDABCBADE证明：延长CD，使得CD=DE,连结BE,在△ACD和△BED中:AD=BD，CD=ED，∠ADC=∠BDE，∴△ACD≌△BED（SAS）∴∠ACD=∠DEB，∴AC//EB，∵∠ACB=900，∴∠CBE=900，∴AC=EB，在△ACB和△EBC中:BC=BC，AC=BE，∠ACB=∠CBE，∴△ACD≌△BED（SAS）∴AB=CE，12∴CDAB12∵CDCE注意：在Rt△中，斜边上的中线把原直角三角形分成面积相等的两个等腰三角形.几何语言表示：∵△ABC为Rt△，CD是斜边AB上的中线，12∴CDAB(在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半)∠2=∠B（）证明：12CDAB=BD=AD∵∴∠1=∠A等边对等角又∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和的性质）即∠A+∠B+∠1+∠2=180°∴2(∠A+∠B)=180°∴∠A+∠B=90°∴△ABC是直角三角形()有两个角互余的三角形是直角三角形例1：如图，已知：CD是△ABC的AB边上的中线，且CD=AB，求证：△ABC是直角三角形.21结论在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.直角三角形的判定定理3：几何语言表示：ACBD12CDAB=BD=AD∵∴△ABC是直角三角形(三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形)练习1.在Rt△ABC中，斜边上的中线CD=2.5cm，则斜边AB的长是多少？2.如图，AB//CD，∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，EH=2.那么△AHC是直角三角形吗？为什么？若是，求出AC的长。ABCDHE解：AB=2CD=5cm解：(1)∵AB//CD,∴∠BAD+∠DCA=1800,又∵AH平分∠BAD，CH平分∠DCA,∴∠HAC=∠BCA,∠HCA=∠DCA21212121∴∠HAC+∠HCA=∠BCA+∠DCA=(∠BCA+∠DCA)=×1800=9002121∴△AHC是直角三角形（2）∵△AHC为Rt△，EH为斜边AC边上的中线；∴AC=2EH=4.直角三角形的性质：直角三角形的判定：1.直角三角形两锐角互余；2.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；3.三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；1.有一个角内角等于90°的三角形是直角三角形。2.有两个角互余的三角形是直角三角形；课堂小结提升