重庆大学机械振动与噪声控制分析

机械振动与噪声控制第一章单自由度系统的振动振动理论与应用TheoryofVibrationwithApplications返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动第2章单自由度系统的振动关于单自由度系统振动的概念典型的单自由度系统:弹簧-质量系统梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方向振动时，可视为集中质量。如不计梁的质量，则相当于一根无重弹簧，系统简化成弹簧-质量系统返回首页TheoryofVibrationwithApplications第2章单自由度系统的振动2.1.1自由振动方程2.1.2振幅、初相位和频率2.1.3等效刚度系数2.1.4扭转振动返回首页TheoryofVibrationwithApplications第2章单自由度系统的振动2.1.1自由振动方程)(stxkmgxm当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的运动微分方程为kxxm02xpxn其中mkpn取物块的静平衡位置为坐标原点O，x轴顺弹簧变形方向铅直向下为正。当物块在静平衡位置时，由平衡条件，得到stkmg无阻尼自由振动微分方程弹簧的静变形固有圆频率返回首页TheoryofVibrationwithApplications第2章单自由度系统的振动其通解为：tpCtpCxnnsincos2101xCtxtxx00000sincos002xC其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t=0时，可解00xxxx，返回首页2.1.1自由振动方程TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动)sin(tpAxn)(arctg)(002020xxppxxAnn两种形式描述的物块振动，称为无阻尼自由振动，简称自由振动。另一种形式无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的简谐振动初相位角振幅返回首页2.1.1自由振动方程TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动2.1.2振幅、初相位和频率系统振动的周期kmpTnπ2π2系统振动的频率mkpTfnπ2π21系统振动的圆频率为fpnπ2圆频率是物块在自由振动中每2秒内振动的次数。f、只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量m有关，而与运动的初始条件无关。因此，通常将频率f称为固有频率，圆频率称为固有圆频率。npnpnp返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动用弹簧静变形量st表示固有圆频率的计算公式物块静平衡位置时stkmgmkpn固有圆频率stgpnstmgk返回首页2.1.2振幅、初相位和频率TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动2.1.3等效刚度系数单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程0eqeq＝qkqm等效的概念这一方程，可以等效为广义坐标的形式0＝kxxm加的力或力矩。需要在这一坐标方向施位移，广义坐标方向产生单位－等效刚度：使系统在eqk向施加的力或力矩。度，需要在这一坐标方加速广义坐标方向产生单位－等效质量：使系统在eqm返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动串联弹簧与并联弹簧的等效刚度例在图中，已知物块的质量为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、k2，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。解：（1）并联情况。弹簧并联的特征是：二弹簧变形相等。振动过程中，物块始终作平行移动。处于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是st，而弹性力分别是st11kFst22kF系统平衡方程是0xFst2121)(kkFFmg返回首页2.1.3等效刚度系数TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧，使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则stkmg21kkkst2121)(kkFFmgk称为并联弹簧的等效刚度系数。并联后的等效弹簧刚度系数是各并联弹簧刚度系数的算术和。系统的固有频率mkkmkf21π21π21返回首页2.1.3等效刚度系数TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动（2）串联情况。串联弹簧的特征是：二弹簧受力相等。当物块在静平衡位置时，它的静位移st等于每根弹簧的静变形之和，即st=1st+2st由于每根弹簧所受的拉力都等于重力mg，故它们的静变形分别为1st1kmg2st2kmg如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于kmgst返回首页2.1.3等效刚度系数TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于kmgst21111kkkkkkkk1212k称为串联弹簧的等效刚度系数1st1kmg2st2kmg串联后的弹簧刚度系数的倒数等于各串联弹簧刚度系数倒数的算术和)(π21π212121kkmkkmkf返回首页2.1.3等效刚度系数TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动组合弹簧的等效刚度例质量为m的物块悬挂如图所示。设杆AB的质量不计，两弹簧的弹簧刚度系数分别为k1和k2,又AC=a，AB=b，求物块的自由振动频率。解：将各弹簧的刚度系数按静力等效的原则，折算到质量所在处。先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。返回首页TheoryofVibrationwithApplicationsC2.1.3等效刚度系数2.1无阻尼系统的自由振动弹性梁的等效刚度例一个质量为m的物块从h的高处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁的质量，求该系统自由振动的频率、振幅和最大挠度。stπ21gf返回首页2.1.3等效刚度系数TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动解：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧来代替，于是这个系统简化成弹簧—质量系统。如果知道系统的静变形则求出系统的固有频率st由材料力学可知，简支梁受集中载荷作用，其中点静挠度为EImgl483st求出系统的固有频率为348π21mlEIf中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为348lEIk返回首页2.1.3等效刚度系数TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点O，建立坐标系，并以撞击时刻为零瞬时，则t=0时，有st0xghx20自由振动的振幅为st2st20202)(hpxxAn)9611(48233stst2ststmaxmglEIhEImglhA梁的最大挠度返回首页2.1.3等效刚度系数TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动2.1.4扭转振动等效系统内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，在运转中常常产生扭转振动，简称扭振。扭振系统称为扭摆。OA为一铅直圆轴，圆盘对其转动惯量为IO。在研究扭摆的运动规律时，假定OA的质量略去不计，圆盘的位置可由圆盘上任一根半径线和该线的静止位置之间的夹角来决定，称扭角。圆轴的抗扭刚度系数为kn，表示使圆盘产生单位扭角所需的力矩。返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程nOkI扭振的运动规律tpptpnnnsincos00对于单自由度振动系统来说，尽管前述直线振动和当前扭振的结构形式和振动形式均不一样，但其振动规律、特征是完全相同的。02npOnnIkp固有圆频率返回首页2.1.4扭转振动TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动图(a)所示为扭振系统两个轴并联的情况；图(b)为两轴串联的情况；图(c)则为进一步简化的等效系统。2121nnnnnkkkkk并联轴系的等效刚度系数21nnnkkk串联轴系的等效刚度系数返回首页2.1.4扭转振动TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.2计算固有频率的能量法第2章单自由度系统的振动当系统在平衡位置时，x=0,速度为最大，势能为零，动能具有最大值Tmax；当系统在最大偏离位置时，速度为零，动能为零，而势能具有最大值Vmax。由于系统的机械能守恒maxmaxVT用能量法计算固有频率的公式返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.2计算固有频率的能量法例船舶振动记录仪的原理图如图所示。重物P连同杆BD对于支点B的转动惯量为IE,求重物P在铅直方向的振动频率。已知弹簧AC的弹簧刚度系数是k。解：这是单自由度的振动系统。系统的位置可由杆BD自水平的平衡位置量起的角来决定。221BI系统的动能设系统作简谐振动，则其运动方程)sin(tpn角速度为)cos(ddtpptnn22maxmax2121nBBpIIT返回首页TheoryofVibrationwithApplications系统的最大动能为2.2计算固有频率的能量法如取平衡位置为系统的势能零点。设在平衡位置时，弹簧的伸长量为。此时，弹性力Fst=k,方向向上。0)(FBm0sPlbFt0sPlbkt该系统的势能)(21])([21st222st2stPlkbkbPlbkV2221kbV222max2max2121kbkbV22222121kbpInBBIkbp2n返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.2计算固有频率的能量法tsts返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.3瑞利法第2章单自由度系统的振动返回首页TheoryofVibrationwithApplications利用能量法，将弹簧的分布质量的动能计入系统的总动能，仍按单自由度系统求固有频率的近似方法，称为瑞利法。应用瑞利法，首先应假定系统的振动位形。2eqs21xmT等效质量l对于图示系统，假设弹簧上各点在振动过程中任一瞬时的位移与一根等直弹性杆在一端固定另一端受轴向力作用下各截面的静变形一样。根据胡克定律，各截面的静变形与离固定端的距离成正比。依据此假设计算弹簧的动能，并表示为集中质量的动能为2.3瑞利法返回首页TheoryofVibrationwithApplications例在图示系统中，弹簧长l，其质量ms。求弹簧的等效质量及系统的固有频率。左端距离为的截面的位移为，则d弹簧的动能为xl2sd21dxllmTsld假设弹簧各点在振动中任一瞬时的位移和一根直杆在一端固定另一端受轴向载荷作用时各截面的静变形一样，解：令x表示弹簧右端的位移，也是质量m的位移。2.3瑞利法返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.4有阻尼系统的衰减振动第2章单自由度系统的振动阻尼－系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材